Maxwell-Boltzmann-distribution: Funktion, afledning og eksempler

At beskrive, hvad der sker med meget små partikler, er en udfordring i fysikken. Ikke alene er deres størrelse vanskelig at arbejde med, men i de fleste daglige applikationer har du ikke at gøre med en enkelt partikel, men utallige mange af dem interagerer alle med hinanden.

Inden for et fast stof bevæger partikler sig ikke forbi hinanden, men i stedet sidder de stort set på plads. Tørstof kan dog ekspandere og trække sig sammen med temperaturvariationer og undertiden endda undergå interessante ændringer i krystallinske strukturer i visse situationer.

I væsker kan partikler bevæge sig forbi hinanden. Forskere har ikke tendens til at studere væsker ved imidlertid at prøve at holde styr på, hvad hvert enkelt molekyle gør. I stedet ser de på større egenskaber for helheden, såsom viskositet, tæthed og tryk.

Ligesom med væsker er partiklerne i en gas også frie til at bevæge sig forbi hinanden. Faktisk kan gasser gennemgå dramatiske volumenændringer på grund af forskelle i temperatur og tryk.

Igen giver det ikke mening at studere en gas ved at holde styr på, hvad hvert enkelt gasmolekyle gør, selv ved termisk ligevægt. Det ville ikke være muligt, især når man tænker på, at der selv i et tomt drikkeglas er omkring 10

Den type gas, der er nemmest at analysere, er en ideel gas. Det er ideelt, fordi det giver mulighed for visse forenklinger, der gør fysikken meget lettere at forstå. Mange gasser ved standard temperaturer og tryk fungerer omtrent som ideelle gasser, hvilket også gør undersøgelsen af ​​dem nyttige.

I en ideel gas antages selve gasmolekylerne at kollidere i perfekt elastiske kollisioner, så du ikke behøver at bekymre dig om energiskiftende form som et resultat af sådanne kollisioner. Det antages også, at molekylerne er meget langt fra hinanden, hvilket i det væsentlige betyder du behøver ikke bekymre dig om, at de kæmper med hinanden for plads og kan behandle dem som pointe partikler. Ideelle gasser er heller ikke for varme og ikke for kolde, så du behøver ikke bekymre dig om effekter som ionisering eller kvanteeffekter.

Herfra kan gaspartiklerne behandles som små punktpartikler, der hopper rundt i deres beholder. Men selv med denne forenkling er det stadig ikke muligt at forstå gasser ved at spore, hvad hver enkelt partikel laver. Det tillader dog forskere at udvikle matematiske modeller, der beskriver forholdet mellem makroskopiske størrelser.

Den ideelle gaslov vedrører tryk, volumen og temperatur på en ideel gas. PressetPaf en gas er kraften pr. arealenhed, som den udøver på beholderens vægge. SI-trykenheden er pascal (Pa), hvor 1Pa = 1N / m². LydstyrkenVaf gassen er den mængde plads, den optager i SI-enheder på m³. Og temperaturenTaf gassen er et mål for den gennemsnitlige kinetiske energi pr. molekyle målt i SI-enheder af Kelvin.

Ligningen, der beskriver den ideelle gaslov, kan skrives som følger:

HvorNer antallet af molekyler eller antallet af partikler og Boltzmann-konstantenk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

En tilsvarende formulering af denne lov er:

Hvorner antallet af mol og den universelle gaskonstantR= 8,3145 J / molK.

Disse to udtryk er ækvivalente. Hvilken du vælger at bruge, afhænger simpelthen af, om du måler dit molekylantal i mol eller i antal molekyler.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekyler, som er Avogadros nummer.

Når en gas er tilnærmet som ideel, kan du foretage en yderligere forenkling. Det vil sige i stedet for at overveje den nøjagtige fysik af hvert molekyle - hvilket ville være umuligt på grund af deres store antal - behandles de som om deres bevægelser er tilfældige. På grund af dette kan statistikker anvendes til at forstå, hvad der foregår.

I det 19. århundrede udviklede fysikerne James Clerk Maxwell og Ludwig Boltzmann den kinetiske teori om gasser baseret på de beskrevne forenklinger.

Klassisk kan hvert molekyle i en gas have en kinetisk energi, der tilskrives det af formen:

Ikke alle molekyler i gassen har dog den samme kinetiske energi, fordi de konstant kolliderer. Den nøjagtige fordeling af molekylernes kinetiske energi er givet af Maxwell-Boltzmann-fordelingen.

Maxwell-Boltzmann-statistikker beskriver fordelingen af ​​ideelle gasmolekyler over forskellige energitilstande. Funktionen, der beskriver denne fordeling, er som følger:

HvorENer en normaliseringskonstant,Eer energi,ker Boltzmanns konstant ogTer temperatur.

Yderligere antagelser for at opnå denne funktion er, at der på grund af deres punktpartikel-natur ikke er nogen grænse for, hvor mange partikler der kan optage en given tilstand. Fordelingen af ​​partikler mellem energitilstande tager også nødvendigvis den mest sandsynlige fordeling (med større antal partikler, bliver oddsene for, at gassen ikke er tæt på denne fordeling, i stigende grad lille). Og endelig er alle energitilstande lige så sandsynlige.

Disse statistikker fungerer, fordi det er yderst usandsynligt, at en given partikel kan ende med en energi, der er betydeligt over gennemsnittet. Hvis det gjorde det, ville det efterlade en hel del færre måder for resten af ​​den samlede energi, der skulle distribueres. Det koger ned til et talespil - da der er langt flere energitilstande, der ikke har en partikel langt over gennemsnittet, er sandsynligheden for, at systemet er i en sådan tilstand forsvindende lille.

Imidlertid er energier lavere end gennemsnittet mere sandsynlige, igen på grund af hvordan sandsynlighederne spiller ud. Da al bevægelse betragtes som tilfældig, og der er et større antal måder, hvorpå en partikel kan ende i en lavenergitilstand, foretrækkes disse tilstande.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen er fordelingen af ​​hastighederne på ideelle gaspartikler. Denne hastighedsfordelingsfunktion kan udledes af Maxwell-Boltzmann-statistikken og bruges til at udlede sammenhænge mellem tryk, volumen og temperatur.

Fordelingen af ​​hastighedver givet ved følgende formel:

Hvormer massen af ​​et molekyle.

Den tilknyttede distributionskurve med hastighedsfordelingsfunktionen påy-aks og den molekylære hastighed påx-aks, ligner omtrent en asymmetrisk normal kurve med en længere hale til højre. Det har en spidsværdi ved den mest sandsynlige hastighedv_s, og en gennemsnitshastighed givet af:

Bemærk også, hvordan den har en lang smal hale. Kurven ændres lidt ved forskellige temperaturer, hvor den lange hale bliver "federe" ved højere temperaturer.

Brug forholdet:

HvorE_inter den indre energi,KE​_​gns​ er den gennemsnitlige kinetiske energi pr. molekyle fra Maxwell-Boltzmann-fordelingen. Sammen med den ideelle gaslov er det muligt at få et forhold mellem tryk og volumen med hensyn til molekylær bevægelse: