Kinematikligningerne beskriver bevægelsen af et objekt, der gennemgår konstant acceleration. Disse ligninger vedrører variablerne for tid, position, hastighed og acceleration af et bevægeligt objekt, så nogen af disse variabler kan løses, hvis de andre er kendte.
Nedenfor er en gengivelse af et objekt, der gennemgår konstant accelerationsbevægelse i en dimension. Variablen t er for tid, position er x, hastighed v og acceleration -en. Abonnementet jeg og f stå for henholdsvis "initial" og "final". Det antages, at t = 0 ved xjeg og vjeg.
(Indsæt billede 1)
Liste over kinematiske ligninger
Der er tre primære kinematiske ligninger anført nedenfor, der gælder, når du arbejder i en dimension. Disse ligninger er:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + ved \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ved ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Bemærkninger om de kinematiske ligninger
- Disse ligninger fungerer kun med en konstant acceleration (som kan være nul i tilfælde af konstant hastighed).
- Afhængigt af hvilken kilde du læser, har de endelige mængder muligvis ikke et abonnement f, og / eller kan være repræsenteret i funktionsnotation som x (t) - Læs "x som en funktion af tiden ”eller“x på tidspunktet t”- og v (t). Noter det x (t) betyder ikke x ganget med t!
-
Nogle gange mængden xf - xjeg er skrevet
Δx, der betyder ”ændringen i x, ”Eller endda simpelthen som d, hvilket betyder forskydning. Alle er ækvivalente. Position, hastighed og acceleration er vektormængder, hvilket betyder at de har retning forbundet med dem. I en dimension er retning typisk angivet med tegn - positive størrelser er i den positive retning og negative størrelser er i den negative retning. Abonnementer: "0" kan bruges til startposition og hastighed i stedet for jeg. Denne "0" betyder "ved t = 0, "og x0 og v0 er typisk udtalt "x-intet" og "v-intet." * Kun en af ligningerne inkluderer ikke tid. Når du skriver ud gaver og bestemmer hvilken ligning du skal bruge, er dette nøglen!
Et specielt tilfælde: frit fald
Fritfaldsbevægelse er bevægelsen af et objekt, der accelererer på grund af tyngdekraften alene i fravær af luftmodstand. De samme kinematiske ligninger gælder; dog er accelerationsværdien nær jordens overflade kendt. Størrelsen af denne acceleration er ofte repræsenteret af ghvor g = 9,8 m / s2. Retningen af denne acceleration er nedad mod jordens overflade. (Bemærk, at nogle kilder kan være omtrentlige g som 10 m / s2, og andre kan bruge en værdi, der er nøjagtig med mere end to decimaler.)
Problemløsningsstrategi for kinematikproblemer i en dimension:
Skitse et diagram over situationen, og vælg et passende koordinatsystem. (Husk det x, v og -en er alle vektorstørrelser, så ved at tildele en klar positiv retning vil det være lettere at holde styr på tegn.)
Skriv en liste over kendte mængder. (Vær opmærksom på, at kendskerne undertiden ikke er indlysende. Se efter sætninger som "starter fra hvile", hvilket betyder det vjeg = 0 eller "rammer jorden", hvilket betyder det xf = 0 osv.)
Bestem hvilken mængde spørgsmålet vil have dig til at finde. Hvad er det ukendte, du vil løse for?
Vælg den passende kinematiske ligning. Dette er ligningen, der indeholder din ukendte mængde sammen med kendte mængder.
Løs ligningen for den ukendte mængde, tilslut derefter kendte værdier, og bereg det endelige svar. (Vær forsigtig med enheder! Nogle gange bliver du nødt til at konvertere enheder inden computing.)
Endimensionelle kinematikeksempler
Eksempel 1: En annonce hævder, at en sportsvogn kan gå fra 0 til 60 km / t på 2,7 sekunder. Hvad er accelerationen af denne bil i m / s2? Hvor langt kører den i løbet af disse 2,7 sekunder?
Opløsning:
(Indsæt billede 2)
Kendte og ukendte mængder:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Den første del af spørgsmålet kræver løsning af den ukendte acceleration. Her kan vi bruge ligning nr. 1:
v_f = v_i + at \ betyder a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Før vi tilslutter tal, skal vi dog konvertere 60 mph til m / s:
60 \ annuller {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ tekst {m / s}} {\ annuller {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ tekst {m / s}
Så accelerationen er da:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ understregning {\ fed {9.93} \ tekst {m / s} ^ 2}
For at finde ud af, hvor langt det går på det tidspunkt, kan vi bruge ligning nr. 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 ved ^ 2 = \ frac 1 2 \ gange 9.93 \ gange 2.7 ^ 2 = \ understreget {\ fed {36.2} \ tekst {m}}
Eksempel 2: En kugle kastes op med en hastighed på 15 m / s fra en højde på 1,5 m. Hvor hurtigt går det, når det rammer jorden? Hvor lang tid tager det at ramme jorden?
Opløsning:
(Indsæt billede 3)
Kendte og ukendte mængder:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
For at løse den første del kan vi bruge ligning nr. 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ betyder v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Alt er allerede i ensartede enheder, så vi kan tilslutte værdier:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Der er to løsninger her. Hvilken er korrekt? Fra vores diagram kan vi se, at den endelige hastighed skal være negativ. Så svaret er:
v_f = \ understregning {\ bold {-16} \ tekst {m / s}}
For at løse tiden kan vi bruge enten ligning 1 eller ligning 2. Da ligning # 1 er enklere at arbejde med, bruger vi den ene:
v_f = v_i + at \ antyder t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ understregning {\ fed {3.2} \ tekst {s }}
Bemærk, at svaret på den første del af dette spørgsmål ikke var 0 m / s. Selvom det er sandt, at når bolden er landet, vil den have 0 hastighed, men dette spørgsmål ønsker at vide, hvor hurtigt det går i det delte sekund inden påvirkning. Når bolden først kommer i kontakt med jorden, gælder vores kinematiske ligninger ikke længere, fordi acceleration ikke vil være konstant.
Kinematiske ligninger til projektilbevægelse (to dimensioner)
Et projektil er et objekt, der bevæger sig i to dimensioner under indflydelse af jordens tyngdekraft. Dens vej er en parabel, fordi den eneste acceleration skyldes tyngdekraften. De kinematiske ligninger for projektilbevægelse tager en lidt anden form end de kinematiske ligninger, der er anført ovenfor. Vi bruger det faktum, at bevægelseskomponenter, der er vinkelrette på hinanden - såsom det vandrette x retning og lodret y retning - er uafhængige.
Problemløsningsstrategi for kinematikproblemer med projektilbevægelse:
Skitse et diagram over situationen. Ligesom med en endimensionel bevægelse er det nyttigt at tegne scenariet og indikere koordinatsystemet. I stedet for at bruge etiketterne x, v og -en til position, hastighed og acceleration har vi brug for en måde at mærke bevægelsen i hver dimension separat.
I den vandrette retning er det mest almindeligt at bruge x for position og vx for x-komponenten af hastighed (bemærk, at accelerationen er 0 i denne retning, så vi har ikke brug for en variabel til den.) I y retning, er det mest almindeligt at bruge y for position og vy for y-komponenten af hastighed. Acceleration kan enten mærkes -eny eller vi kan bruge det faktum, at vi ved, at accelerationen på grund af tyngdekraften er g i den negative y-retning, og brug det bare i stedet.
Skriv en liste over kendte og ukendte størrelser ved at opdele problemet i to sektioner: lodret og vandret bevægelse. Brug trigonometri til at finde x- og y-komponenterne i alle vektormængder, der ikke ligger langs en akse. Det kan være nyttigt at angive dette i to kolonner:
(indsæt tabel 1)
Bemærk: Hvis hastighed er angivet som en størrelse sammen med en vinkel, Ѳover vandret, brug derefter vektornedbrydning, vx= vcos (Ѳ) og vy= vsin (Ѳ).
Vi kan overveje vores tre kinematiske ligninger fra før og tilpasse dem til henholdsvis x- og y-retningen.
X retning:
x_f = x_i + v_xt
Y-retning:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Bemærk, at accelerationen i y retning er -g, hvis vi antager, at op er positiv. En almindelig misforståelse er, at g = -9,8 m / s2, men dette er forkert; g i sig selv er simpelthen størrelsen af accelerationen: g = 9,8 m / s2, så vi er nødt til at specificere, at accelerationen er negativ.
Løs for en ukendt i en af disse dimensioner, og tilslut derefter det, der er almindeligt i begge retninger. Mens bevægelsen i de to dimensioner er uafhængig, sker den på samme tidsskala, så tidsvariablen er den samme i begge dimensioner. (Den tid det tager bolden at gennemgå dens lodrette bevægelse er den samme som den tid det tager at gennemgå dens vandrette bevægelse.)
Eksempler på kinematik med projektilbevægelse
Eksempel 1: Et projektil lanceres vandret fra en klippe med en højde på 20 m med en indledende hastighed på 50 m / s. Hvor lang tid tager det at ramme jorden? Hvor langt fra bunden af klippen lander den?
(indsæt billede 4)
Kendte og ukendte mængder:
(indsæt tabel 2)
Vi kan finde den tid, det tager at ramme jorden ved hjælp af den anden lodrette bevægelsesligning:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ indebærer t = \ sqrt {\ frac {(2 \ gange 20)} g} = \ understreget {\ bold {2.02} \ text {s} }
Så for at finde, hvor det lander, xf, kan vi bruge den vandrette bevægelsesligning:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ understreget {\ fed {101} \ tekst {s}}
Eksempel 2: En kugle lanceres 100 m / s fra jordoverfladen i en vinkel på 30 grader med vandret. Hvor lander det? Hvornår er dens hastighed den mindste? Hvad er dens placering på dette tidspunkt?
(indsæt billede 5)
Kendte og ukendte mængder:
Først skal vi opdele hastighedsvektoren i komponenter:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ ca. 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ sms {m / s}
Vores tabel over mængder er så:
(indsæt tabel 3)
Først skal vi finde den tid, bolden er i flyvning. Vi kan gøre dette med den anden lodrette ligning_. Bemærk, at vi bruger symmetri af parabolen for at bestemme, at den endelige _y hastighed er negativ af initialen:
Derefter bestemmer vi, hvor langt det bevæger sig i x retning i denne tid:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ gange 10.2 \ approx \ understregning {\ fed {883} \ tekst m}
Ved hjælp af symmetrien af den parabolske vej kan vi bestemme, at hastigheden er mindst 5.1 s, når projektilet er på toppen af sin bevægelse og den lodrette hastighedskomponent er 0. X- og y-komponenterne i dens bevægelse på dette tidspunkt er:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ gange 5.1 \ ca \ understreget {\ fed {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ gange 5.1 ^ 2 \ approx \ understregning {\ fed {128} \ tekst {m}}
Derivation af kinematiske ligninger
Ligning nr. 1: Hvis accelerationen er konstant, så:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Løsning af hastigheden har vi:
v_f = v_i + kl
Ligning nr. 2: Den gennemsnitlige hastighed kan skrives på to måder:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Hvis vi udskifter _vf _med udtrykket fra ligning # 1 får vi:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Løser for xf giver:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ved ^ 2
Ligning # 3: Start med at løse for t i ligning # 1
v_f = v_i + at \ antyder t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Sæt dette udtryk i for t i det gennemsnitlige hastighedsforhold:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implicerer \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Omarrangering af dette udtryk giver:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)