Sådan finder du dy / dx ved implicit differentiering givet en lignende ligning som y = sin (xy)

Implicit differentiering er en teknik, der bruges til at bestemme afledningen af ​​en funktion i form y = f (x).

For at lære at bruge implicit differentiering kan vi bruge metoden på et simpelt eksempel og derefter undersøge nogle mere komplekse tilfælde.

Mens det lyder mere kompliceret, bruger implicit differentiering al den samme matematik og færdigheder som grundlæggende differentiering. Det vigtige at bemærke er dog, at vores afhængige variabel nu vises i selve funktionen.

Tag en simpel ligning som xy = 1. Der er to måder at finde afledte af y med respekt for xeller dy / dx. For det første kan vi simpelthen løse det y i ligningen og brug magtreglen til derivater. Hvis du gør dette, ville det give: y = 1 / x. Anvendelse af effektreglen afslører derfor, at dy / dx = -1 / x².

Vi kan også gøre dette problem ved hjælp af implicit differentiering. Heldigvis kender vi allerede svaret (det skal være det samme uanset hvordan vi beregner det), så vi kan kontrollere vores arbejde!

Til at begynde med skal du anvende afledningen på begge sider af ligningen xy = 1. Derefter d / dx (xy) = d / dx (1); klart er højre side nu lig med 0, men venstre side kræver kædereglen. Dette er fordi vi tager afledningen af ​​vores funktion, y, mens det bliver ganget til en anden faktor af x. For at beregne dette: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Vi bruger primærnotationen til at indikere et derivat med hensyn til x.

Omskrivning af vores ligningsudbytter: y + xy '= 0. Det er tid til at løse for y ' i vores ligning! Det er klart, at y '= -y / x. Men ved hjælp af de originale oplysninger ved vi, at y = 1 / x, så vi kan erstatte dette igen. Når vi først har gjort det, ser vi, at y '= -1 / x², ligesom vi fandt før.

For at bestemme afledningen af ​​y = sin (xy) bruger vi implicit differentiering ved at huske at (d / dx) y = y '.

Anvend først afledningen på begge sider af ligningen: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Venstre side af ligningen er tydeligt y ', hvilket er hvad vi bliver nødt til at løse for, men den højre side kræver noget arbejde; specifikt kædereglen og produktreglen. Først skal kædereglen anvendes på sin (xy), og derefter produktreglen for argumentet xy. Heldigvis har vi allerede beregnet denne produktregel.

Dernæst giver forenkling dette: y '= cos (xy) (y + xy').

Det er klart, at denne ligning skal løses for y ' for at bestemme hvordan y ' er relateret til x og y.

Isoler alle vilkår med y ' på den ene side: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Derefter faktor ud af y ' for at få: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Nu ser vi, at y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Yderligere forenkling er nødvendigt, men fordi vores funktion er rekursivt defineret, vil tilslutning af y = sin (xy) sandsynligvis ikke give en tilfredsstillende løsning. I dette tilfælde kan mere information eller en mere sofistikeret metode til at plotte disse ligninger være nyttige.

Husk først, at implicit differentiering er afhængig af, at en af ​​variablerne er en funktion af den anden. Almindeligvis ser vi funktioner som y = f (x), men man kan skrive en funktion x = f (y). Vær forsigtig, når du nærmer dig disse problemer for at bestemme, hvilken variabel der er afhængig af den anden.

Husk derefter at anvende afledte regler omhyggeligt. Implicit differentiering vil kræve kædereglen meget ofte såvel som produktreglen og kvotientreglen. Korrekt anvendelse af disse metoder er afgørende for at bestemme det endelige svar.

Endelig skal du løse det ønskede derivat ved at isolere det og forenkle udtrykkene så meget som muligt.