Euklidisk afstand er afstanden mellem to punkter i det euklidiske rum. Det euklidiske rum blev oprindeligt udtænkt af den græske matematiker Euklid omkring 300 f.v.t. at studere forholdet mellem vinkler og afstande. Dette geometriske system er stadig i brug i dag og er det, som gymnasieelever ofte studerer. Euklidisk geometri gælder specifikt for mellemrum med to og tre dimensioner. Det kan dog let generaliseres til dimensioner med højere ordre.
Beregn den euklidiske afstand for en dimension. Afstanden mellem to punkter i en dimension er simpelthen den absolutte værdi af forskellen mellem deres koordinater. Matematisk vises dette som | p1 - q1 | hvor p1 er den første koordinat for det første punkt og q1 er den første koordinat for det andet punkt. Vi bruger den absolutte værdi af denne forskel, da afstand normalt kun anses for at have en ikke-negativ værdi.
Tag to punkter P og Q i todimensionalt euklidisk rum. Vi beskriver P med koordinaterne (p1, p2) og Q med koordinaterne (q1, q2). Konstruer nu et linjesegment med slutpunkterne P og Q. Dette linjesegment vil danne hypotenusen i en højre trekant. Ved at udvide resultaterne opnået i trin 1 bemærker vi, at længden af benene på denne trekant er angivet med | p1 - q1 | og | p2 - q2 |. Afstanden mellem de to punkter angives derefter som hypotenusens længde.
Brug Pythagoras sætning til at bestemme længden af hypotenusen i trin 2. Denne sætning siger, at c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, hvor c er længden af en højre trekants hypotenus, og a, b er længderne på de to andre ben. Dette giver os c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Afstanden mellem 2 punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) i todimensionelt rum er derfor ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Udvid resultaterne fra trin 3 til et tredimensionelt rum. Afstanden mellem punkterne P = (p1, p2, p3) og Q = (q1, q2, q3) kan derefter angives som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generaliser løsningen i trin 4 for afstanden mellem to punkter P = (p1, p2,..., pn) og Q = (q1, q2,..., qn) i n-dimensioner. Denne generelle løsning kan gives som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).