Přemýšleli jste někdy o tom, kolik vody nebo kávy se vejde do jednoho z těch zdánlivě nespočetných plastových jednorázových šálků na vodu, který je užší na základně než nahoře? Jinými slovy, téměř každý papírový, plastový nebo jiný jednorázový kelímek, který jste kdy viděli nebo použili? (Abych byl spravedlivý, některé šálky nemají šikmé strany, a jsou tedy válcovité, ale zdá se, že to platí pouze pro trvalý šálky.)
Typ tvaru popsaného výše je založen na a kužel, což je výsledek přímky, která prochází prostorem a sleduje zakřivenou cestu, jako je kruh (v nejjednodušším případě) nebo elipsa. Šálek není obvykle špičatý (některé, které obsahují zmrzlé dobroty), ale stále je to „kus“ kužele, geometricky řečeno. Díky tomu je snadné najít svazek s trpělivostí.
Objem kužele
Vzorec pro objem pravidelného nebo pravého kužele (tj. S kruhovou základnou) je
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2 h
Kde r je poloměr základny a h je výška kužele. Také, protože ze strany vypadá pravý kužel jako dva pravé trojúhelníky umístěné společně, délka
s šikmé strany kužele má stejnou hodnotu jako přepona jednoho z těchto trojúhelníků. Dává se tedy použitím Pythagorovy věty: r2 + h2 = s2, taks = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Objem zúženého poháru: Část první
Řekněme, že máte šálek, který je v základně široký 8 cm (cm), v horní části 10 cm a vysoký 15 cm. Kolik kapaliny pojme v cm3, nazývané také mililitry (ml)?
Jedním ze způsobů, jak se k tomuto problému postavit, je nakreslit průřez kalíšku, to znamená, jak to vypadá ze strany po řezání přesně na polovinu kolmo k vašemu zornému poli. Pokud nakreslíte svislé čáry nahoru ze dvou bodů, kde se základna setkává se stranami nahoře pohár, nyní jste rozdělili průřez na dva stejné, odražené pravé trojúhelníky a obdélník. Trojúhelníky mají dlouhé „nohy“ 15 cm a krátké „nohy“ 1 cm (rozdělují rozdíl mezi šířkou základny a šířkou horní části).
Objem zúženého poháru: Část druhá
Všimněte si, co se stane, když roztáhnete strany šálku ve vašem diagramu až do bodu pod základnou. Rovněž prodloužte čáru od středu horní části směrem k bodu, ke kterému se tyto čáry sbíhají. (Možná nebudeš mít prostor, aby se strany setkaly a vytvořily uzavřený trojúhelník, ale dostaň se co nejblíže,)
Kvůli principu podobných trojúhelníků víte, že poměr dlouhé nohy trojúhelníků shora (15 cm) k poměru malé nohy (1 cm) nebo 15: 1, musí být stejné jako poměr malé nohy k dlouhé noze jednoho nově vytvořeného trojúhelníku mezi základnou „šálku“ a směřovat. Vzhledem k tomu, že malá noha má hodnotu 4 cm, musí být dlouhá noha 15krát větší nebo 60 cm.
Nyní tedy máte na mysli průřez kužele o celkové výšce 15 + 60 = 75 cm a šířce 10 cm, což znamená poloměr 5 cm. Objem tohoto kužele minus objem kužele sahající až k základně šálku, který má výšku 60 cm a šířku 8 cm (r = 4 cm), dává požadovaný výsledek:
\ begin {aligned} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ text {mL} \ end {zarovnáno}
Váš šálek tedy pojme velmi blízko 1 l (1 000 ml) kapaliny.
Kalkulačka objemu kužele a poháru
V seznamu Zdroje najdete seznam kalkulaček zahrnujících kužely s různými počátečními kombinacemi informací. Alternativně můžete použít výše uvedený přístup, rozdělit šálek do různých tvarů a poté použít jednodušší vzorce (například vzorec pro objem krychle) v příslušných kombinacích k nalezení součtu objem.