Pokud máte rádi matematické zvláštnosti, budete milovat Pascalov trojúhelník. Pojmenován po francouzském matematikovi 17. století Blaise Pascalovi a Číňanům známý už mnoho století před Pascalem jako trojúhelník Yanghui, je to vlastně víc než zvláštnost. Jedná se o specifické uspořádání čísel, které je neuvěřitelně užitečné v algebře a teorii pravděpodobnosti. Některé z jeho charakteristik jsou matoucí a zajímavější, než jsou užitečné. Pomáhají ilustrovat tajemnou harmonii světa popsanou čísly a matematikou.
Pravidlo pro konstrukci Pascalova trojúhelníku nemohlo být jednodušší. Začněte s číslem jedna na vrcholu a vytvořte druhý řádek pod ním s dvojicí. Chcete-li vytvořit třetí a všechny následující řádky, začněte tak, že jeden umístíte na začátek a na konec. Oddělte každou číslici mezi touto dvojicí přidáním dvou číslic bezprostředně nad ní. Třetí řada je tedy 1, 2, 1, čtvrtá řada je 1, 3, 3, 1, pátá řada je 1, 4, 6, 4, 1 atd. Pokud každá číslice zabírá krabici, která má stejnou velikost jako všechny ostatní krabičky, uspořádání tvoří perfektní rovnostranný trojúhelník ohraničený ze dvou stran jednotkami a se základnou rovnou délkou počtu řádků. Řádky jsou symetrické v tom, že čtou stejně dozadu i dopředu.
Pascal objevil trojúhelník, který byl po staletí známý perským a čínským filozofům, když studoval algebraickou expanzi výrazu (x + y)n. Když tento výraz rozšíříte na n-tou mocninu, koeficienty členů v expanzi odpovídají číslům v n-té řadě trojúhelníku. Například (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 a tak dále. Z tohoto důvodu matematici někdy nazývají uspořádání trojúhelník binomických koeficientů. U velkého počtu n je zjevně snazší číst koeficienty roztažnosti z trojúhelníku, než je vypočítat.
Předpokládejme, že hodíte minci několikrát. Kolik kombinací hlav a ocasů můžete získat? Zjistíte to tak, že se podíváte na řádek v Pascalově trojúhelníku, který odpovídá počtu, kolikrát hodíte mincí, a sečtete všechna čísla v tomto řádku. Pokud například hodíte minci třikrát, máte 1 + 3 + 3 + 1 = 8 možností. Pravděpodobnost získání stejného výsledku třikrát za sebou je tedy 1/8.
Podobně můžete pomocí Pascalova trojúhelníku zjistit, kolik způsobů můžete kombinovat objekty nebo volby z dané sady. Předpokládejme, že máte 5 míčků a chcete vědět, kolik způsobů si můžete vybrat dva z nich. Stačí jít do páté řady a podívat se na druhou položku a najít odpověď, která je 5.