„Sinus“ je zkratka matematiky pro poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, vyjádřená jako zlomek: Strana naproti jakýkoli úhel, který měříte, je čitatel zlomku a přepona pravého trojúhelníku je jmenovatel. Jakmile tento koncept zvládnete, stane se stavebním kamenem vzorce známého jako sinusový zákon, který lze použít k nalezení chybějící úhly a strany trojúhelníku, pokud znáte alespoň dva jeho úhly a jednu stranu, nebo dvě strany a jednu úhel.
Rekapitulace sinusového zákona
Zákon sinusů vám říká, že poměr úhlu v trojúhelníku k protilehlé straně bude stejný pro všechny tři úhly trojúhelníku. Nebo řečeno jinak:
hřích (A) /A = hřích (B) /b = hřích (C) /C, kde A, B a C jsou úhly trojúhelníku a a, b a C jsou délky stran protilehlé těmto úhlům.
Tato forma je nejužitečnější pro hledání chybějících úhlů. Pokud používáte zákon sinusů k nalezení chybějící délky strany trojúhelníku, můžete jej také napsat se sinusem ve jmenovateli:
A/ sin (A) = b/ sin (B) = C/sin(C)
Nalezení chybějícího úhlu pomocí sinusového zákona
Představte si, že máte trojúhelník s jedním známým úhlem - řekněme, že úhel A měří 30 stupňů. Znáte také míru dvou stran trojúhelníku: side A, což je opačný úhel A, měří 4 jednotky a strana b měří 6 jednotek.
Dejte si pozor na nejednoznačný případ zákonu sinusů, který může vzniknout, pokud jste, jako v tomto problému, vzhledem k délce dvou stran a úhlu, který mezi nimi není. Nejednoznačný případ je pouhým varováním, že za této konkrétní situace mohou na výběr dvě možné odpovědi. Jednu možnou odpověď jste již našli. Chcete-li analyzovat další možnou odpověď, odečtěte úhel, který jste právě našli, od 180 stupňů. Přidejte výsledek k prvnímu známému úhlu, který jste měli. Pokud je výsledek menší než 180 stupňů, je tento „výsledek“, který jste právě přidali k prvnímu známému úhlu, druhým možným řešením.
Vložte všechny známé informace do první formy sinusového zákona, která je nejlepší pro nalezení chybějících úhlů:
hřích (30) / 4 = hřích (B) / 6 = hřích (C) /C
Dále vyberte cíl; v tomto případě najděte míru úhlu B.
Nastavení problému je stejně jednoduché jako nastavení prvního a druhého výrazu této rovnice, které se navzájem rovnají. Nyní se nemusíte obávat třetího funkčního období. Takže máš:
hřích (30) / 4 = hřích (B) / 6
Pomocí kalkulačky nebo grafu vyhledejte sinus známého úhlu. V tomto případě sin (30) = 0,5, takže máte:
(0,5) / 4 = hřích (B) / 6, což zjednodušuje:
0,125 = hřích (B) / 6
Vynásobte každou stranu rovnice číslem 6, abyste izolovali sinusové měření neznámého úhlu. To vám dává:
0,75 = hřích (B)
Najděte inverzní sinus nebo arkusinus neznámého úhlu pomocí kalkulačky nebo tabulky. V tomto případě je inverzní sinus 0,75 přibližně 48,6 stupňů.
Varování
Hledání strany se zákonem Sines
Představte si, že máte trojúhelník se známými úhly 15 a 30 stupňů (řekněme jim A a B) a délkou strany A, což je opačný úhel A, je 3 jednotky dlouhé.
Jak již bylo zmíněno, tři úhly trojúhelníku se vždy sčítají až o 180 stupňů. Pokud tedy již znáte dva úhly, můžete zjistit míru třetího úhlu odečtením známých úhlů od 180:
180 - 15 - 30 = 135 stupňů
Chybějící úhel je tedy 135 stupňů.
Do druhého vzorce vyplňte informace, které již znáte, pomocí druhého formuláře (což je nejjednodušší při výpočtu chybějící strany):
3 / hřích (15) = b/ sin (30) = C/sin(135)
Vyberte, na které chybějící straně chcete zjistit délku. V tomto případě z důvodu pohodlí zjistěte délku strany b.
Chcete-li nastavit problém, zvolíte dva ze sinusových vztahů uvedených v zákoně sinusů: Ten, který obsahuje váš cíl (strana b) a ten, pro který již znáte všechny informace (to je strana A a úhel A). Nastavte tyto dva sinusové vztahy navzájem stejné:
3 / hřích (15) = b/sin(30)
Nyní vyřešte pro b. Začněte tím, že pomocí kalkulačky nebo tabulky vyhledáte hodnoty sin (15) a sin (30) a vyplníte je do vaší rovnice (pro tento příklad použijte zlomek 1/2 místo 0,5), který dává vy:
3/0.2588 = b/(1/2)
Všimněte si, že váš učitel vám řekne, jak daleko (a pokud) zaokrouhlit vaše sinusové hodnoty. Mohou vás také požádat, abyste použili přesnou hodnotu funkce sine, která je v případě sin (15) velmi chaotická (√6 - √2) / 4.
Dále zjednodušte obě strany rovnice a nezapomeňte, že dělení zlomkem je stejné jako vynásobení jeho inverzí:
11,5920 = 2_b_
Kvůli pohodlí přepněte strany rovnice, protože proměnné jsou obvykle uvedeny vlevo:
2_b_ = 11,5920
A nakonec dokončete řešení pro b. V tomto případě vše, co musíte udělat, je rozdělit obě strany rovnice o 2, což vám dává:
b = 5.7960
Chybějící strana trojúhelníku má tedy délku 5 7960 jednotek. Stejně snadno můžete použít stejný postup k řešení pro stranu C, kterým se jeho termín v zákoně sinusových slov rovná výrazu pro stranu A, protože již znáte úplné informace této strany.