Jak najít exponenciální rovnici se dvěma body

Pokud znáte dva body, které spadají na konkrétní exponenciální křivku, můžete křivku definovat řešením obecné exponenciální funkce pomocí těchto bodů. V praxi to znamená dosazení bodů za y a x v rovnici y = ab^X. Postup je jednodušší, pokud je hodnota x pro jeden z bodů 0, což znamená, že bod je na ose y. Pokud žádný z bodů nemá nulovou hodnotu x, je proces řešení pro x a y o něco složitější.

Mnoho důležitých systémů sleduje exponenciální vzorce růstu a rozpadu. Například počet bakterií v kolonii se obvykle exponenciálně zvyšuje a okolní záření v atmosféře po jaderné události se obvykle exponenciálně snižuje. Díky získávání dat a vykreslování křivky jsou vědci v lepší pozici, aby mohli předpovídat.

Jakýkoli bod na dvourozměrném grafu může být reprezentován dvěma čísly, která jsou obvykle zapsána v forma (x, y), kde x definuje vodorovnou vzdálenost od počátku a y představuje svislou vzdálenost. Například bod (2, 3) jsou dvě jednotky napravo od osy y a tři jednotky nad osou x. Na druhé straně je bod (-2, -3) dvě jednotky nalevo od osy y. a tři jednotky pod osou x.

Pokud máte dva body, (x₁, y₁) a (x₂, y₂), můžete definovat exponenciální funkci, která prochází těmito body, jejich dosazením do rovnice y = ab^X a řešení pro a a b. Obecně musíte vyřešit tento pár rovnic:

y₁ = ab^x1 a y₂ = ab^x2, .

V této formě vypadá matematika trochu komplikovaně, ale po provedení několika příkladů to vypadá méně.

Pokud je jedna z hodnot x - řekněme x₁ - je 0, operace se stává velmi jednoduchou. Například řešení rovnice pro body (0, 2) a (2, 4) poskytne:

2 = ab⁰ a 4 = ab². Protože víme, že b⁰ = 1, první rovnice bude 2 = a. Dosazením a v druhé rovnici se získá 4 = 2b², které zjednodušíme na b² = 2 nebo b = druhá odmocnina ze 2, což se rovná přibližně 1,41. Definující funkce je tedy y = 2 (1,41)^X.

Pokud ani jedna z hodnot x není nula, je řešení dvojice rovnic o něco těžkopádnější. Henochmat provede nás jednoduchým příkladem k objasnění tohoto postupu. Ve svém příkladu si vybral dvojici bodů (2, 3) a (4, 27). Tím se získá následující dvojice rovnic:

27 = ab⁴

3 = ab²

Pokud vydělíte první rovnici druhou, dostanete

9 = b²

takže b = 3. Je možné, aby b bylo rovné -3, ale v tomto případě předpokládejme, že je to kladné.

Tuto hodnotu můžete nahradit b v kterékoli rovnici a získat a. Je jednodušší použít druhou rovnici, takže:

3 = a (3)² což lze zjednodušit na 3 = a9, a = 3/9 nebo 1/3.

Rovnici, která prochází těmito body, lze zapsat jako y = 1/3 (3)^X.

Od roku 1910 byl růst lidské populace exponenciální a vynesením křivky růstu jsou vědci v lepší pozici pro předvídání a plánování budoucnosti. V roce 1910 byla světová populace 1,75 miliardy a v roce 2010 to bylo 6,87 miliardy. Vezmeme-li rok 1910 jako výchozí bod, získáme dvojici bodů (0, 1,75) a (100, 6,87). Protože hodnota x prvního bodu je nula, můžeme snadno najít a.

1,75 = ab⁰ nebo a = 1,75. Zapojením této hodnoty spolu s hodnotami druhého bodu do obecné exponenciální rovnice vznikne 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, což dává hodnotu b jako stý kořen 6,87 / 1,75 nebo 3,93. Rovnice se tedy stává y = 1,75 (setina odmocniny z 3,93)^X. Přestože to vědci potřebují víc než jen klouzavé pravidlo, mohou vědci pomocí této rovnice promítnout budoucí počty obyvatel, aby pomohli současným politikům vytvořit vhodné politiky.