Jak najít deriváty

Jednou z důležitých operací, které v kalkulu provádíte, je hledání derivátů. Derivát funkce se také nazývá rychlost změny této funkce. Například pokud x (t) je poloha automobilu kdykoli t, pak derivace x, která je zapsána dx / dt, je rychlost automobilu. Derivaci lze také vizualizovat jako sklon přímky tečné k grafu funkce. Na teoretické úrovni takto matematici najdou derivace. V praxi matematici používají sady základních pravidel a vyhledávací tabulky.

Sklon přímky mezi dvěma body je vzestup nebo rozdíl hodnot y dělený během nebo rozdíl hodnot x. Sklon funkce y (x) pro určitou hodnotu x je definován jako sklon přímky, která je tečna k funkci v bodě [x, y (x)]. Pro výpočet sklonu sestrojíme přímku mezi bodem [x, y (x)] a blízkým bodem [x + h, y (x + h)], kde h je velmi malé číslo. Pro tento řádek je běh nebo změna hodnoty x h a vzestup nebo změna hodnoty y je y (x + h) - y (x). Následně je sklon y (x) v bodě [x, y (x)] přibližně stejný jako [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Chcete-li získat sklon přesně, vypočítáte hodnotu sklonu s tím, jak se h zmenšuje a zmenšuje, až k „limitu“, kde jde na nulu. Sklon vypočítaný tímto způsobem je derivací y (x), který je zapsán jako y ‘(x) nebo dy / dx.

Metodu sklon / limit můžete použít k výpočtu derivací funkcí, kde y se rovná x mocnině a, nebo y (x) = x ^ a. Pokud se například y rovná x krychle, y (x) = x ^ 3, pak dy / dx je limit, protože h jde na nulu [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Rozšíření (x + h) ^ 3 dává [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, což se po rozdělení dělí na 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 od h. V limitu, jak h jde na nulu, všechny členy, které mají h v nich, také jdou na nulu. Takže y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Můžete to udělat pro hodnoty jiné než 3 a obecně můžete ukázat, že d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Mnoho funkcí lze psát jako takzvané mocninné řady, které jsou součtem termínů nekonečného počtu, kde každý má tvar C (n) x ^ n, kde x je proměnná, n je celé číslo a C (n) je konkrétní číslo pro každou hodnotu n. Například výkonová řada pro sinusovou funkci je Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., kde „...“ znamená výrazy pokračující do nekonečna. Pokud znáte řadu funkcí pro určitou funkci, můžete k výpočtu derivace funkce použít derivaci síly x ^ n. Například derivace Sin (x) se rovná 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., což je shodou okolností mocninová řada pro Cos (x).

Derivace základních funkcí, jako jsou mocniny jako x ^ a, exponenciální funkce, logovací funkce a trigové funkce, lze nalézt pomocí metody sklon / limit, metody řady výkonů nebo jiných metod. Tyto deriváty jsou poté uvedeny v tabulkách. Můžete například vyhledat, že derivací Sin (x) je Cos (x). Pokud jsou složité funkce kombinací základních funkcí, potřebujete speciální pravidla, jako jsou pravidlo řetězu a pravidlo produktu, které jsou také uvedeny v tabulkách. Například pomocí pravidla řetězu zjistíte, že derivace Sin (x ^ 2) je 2xCos (x ^ 2). Pomocí pravidla produktu zjistíte, že derivát xSin (x) je xCos (x) + Sin (x). Pomocí tabulek a jednoduchých pravidel najdete derivaci jakékoli funkce. Ale když je funkce extrémně složitá, vědci se někdy uchylují k pomoci počítačových programů.