Všichni studenti matematiky a mnoho studentů přírodovědných oborů se v určité fázi studia setkávají s polynomy, ale naštěstí se s nimi snadno naučíte, jakmile se naučíte základy. Mezi hlavní operace, které s polynomiálními výrazy budete potřebovat, patří sčítání, odčítání, násobení a dělení, a zatímco dělení může být složité, většinu času zvládnete základy ulehčit.
Polynomy: Definice a příklady
Polynomiální popisuje algebraický výraz s jedním nebo více výrazy zahrnujícími proměnnou (nebo více než jeden), s exponenty a případně konstantami. Nemohou zahrnovat dělení proměnnou, nemohou mít záporné nebo zlomkové exponenty a musí mít konečný počet členů.
Tento příklad ukazuje polynom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
A to ukazuje další:
xy ^ 2 - 3 x + y
Existuje mnoho způsobů klasifikace polynomů, a to i podle stupně (součet exponentů na členu s nejvyšší mocí, např. 3 v první příklad) a podle počtu výrazů, které obsahují, jako jsou monomials (jeden termín), binomials (dva termíny) a trinomials (tři podmínky).
Sčítání a odečítání polynomů
Sčítání a odčítání polynomů závisí na kombinaci výrazů „jako“. Podobným výrazem je jeden se stejnými proměnnými a exponenty jako jiný, ale počet, kterým jsou vynásobeny (koeficient), se může lišit. Například,X2 a 4X 2 jsou jako výrazy, protože mají stejnou proměnnou a exponent, a 2xy 4 a 6xy 4 jsou také jako termíny. Nicméně,X2, X3, X2y2 ay2 nejsou jako pojmy, protože každý obsahuje různé kombinace proměnných a exponentů.
Přidejte polynomy kombinací podobných výrazů stejným způsobem jako u jiných algebraických výrazů. Podívejte se například na problém:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Sbírejte podobné výrazy a získejte:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
A poté vyhodnotit jednoduchým sečtením koeficientů a sloučením do jednoho termínu:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Pamatujte, že s tím nemůžete nic dělatyprotože nemá žádný podobný výraz.
Odečítání funguje stejným způsobem:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Nejprve si všimněte, že všechny výrazy v pravé závorce jsou odečteny od výrazů v levé závorce, takže to napište jako:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombinujte podobné výrazy a vyhodnoťte, abyste získali:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
U takového problému:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Všimněte si, že znaménko mínus se aplikuje na celý výraz v pravé závorce, takže dvě záporná znaménka před 3X2 staňte se doplňkovým znamením:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Poté vypočítejte jako dříve.
Násobení polynomiálních výrazů
Znásobte polynomiální výrazy pomocí distribuční vlastnosti násobení. Stručně řečeno, vynásobte každý člen v prvním polynomu každým členem v druhém. Podívejte se na tento jednoduchý příklad:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Vyřešíte to pomocí distribuční vlastnosti, takže:
\ begin {zarovnáno} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {zarovnáno}
Stejným způsobem řešte složitější problémy:
\ begin {aligned} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {zarovnáno}
U větších skupin se tyto problémy mohou komplikovat, ale základní proces je stále stejný.
Dělení polynomiálních výrazů
Dělení polynomiálních výrazů trvá déle, ale můžete je řešit v krocích. Podívejte se na výraz:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Nejprve napište výraz jako dlouhé dělení s dělitelem vlevo a dividendou vpravo:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Vydělte první člen v dividendě prvním členem v děliteli a výsledek umístěte na řádek nad dělením. V tomto případě,X2 ÷ X = X, tak:
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {aligned}
Vynásobte tento výsledek celým dělitelem, takže v tomto případě, (X + 2) × X = X2 + 2 X. Vložte tento výsledek pod rozdělení:
\ begin {zarovnáno} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {zarovnáno}
Odečtěte výsledek na novém řádku od podmínek přímo nad ním (všimněte si, že technicky změníte znaménko, takže pokud jste měli záporný výsledek, místo toho jej přidejte) a vložte to na řádek pod ním. Posuňte také poslední termín z původní dividendy dolů.
\ begin {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x - 10 \ end {aligned}
Nyní opakujte postup s dělitelem a novým polynomem ve spodním řádku. Rozdělte tedy první člen dělitele (X) prvním termínem dividendy (−5X) a vložte toto výše:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x - 10 \ end {aligned}
Vynásobte tento výsledek (−5X ÷ X= −5) původním dělitelem (tedy (X + 2) × −5 = −5 X−10) a vložte výsledek do nového spodního řádku:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {zarovnáno}
Potom odečtěte spodní řádek od dalšího nahoru (v tomto případě tedy změňte znaménko a přidejte) a vložte výsledek do nového spodního řádku:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0-5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {zarovnáno}
Protože dole je nyní řada nul, proces je dokončen. Pokud zbývají nenulové podmínky, postup byste zopakovali znovu. Výsledek je na horním řádku, takže:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Toto rozdělení a některé další lze vyřešit jednodušší, pokud můžete faktor polynomu v dividendě.