Když jste se poprvé seznámili se systémy rovnic, pravděpodobně jste se naučili řešit soustavu dvou proměnných rovnic pomocí grafů. Ale řešení rovnic se třemi a více proměnnými vyžaduje novou sadu triků, jmenovitě techniky eliminace nebo substituce.
Vyberte libovolné dvě z rovnic a zkombinujte je, abyste eliminovali jednu z proměnných. V tomto příkladu přidání rovnice # 1 a rovnice # 2 zrušíyproměnná, která vám ponechá následující novou rovnici:
Nová rovnice # 1:
7x - 2z = 12
Opakujte krok 1, tentokrát kombinujte aodlišnýmnožina dvou rovnic, ale eliminacestejnýproměnná. Zvažte rovnici # 2 a rovnici # 3:
Rovnice # 2:
5x - y - 5z = 2
Rovnice # 3:
x + 2y - z = 7
V tomto případěyproměnná se okamžitě nezruší. Než tedy sečtete obě rovnice, vynásobte obě strany rovnice # 2 číslem 2. To vám dává:
Rovnice # 2 (upravená):
10x - 2r - 10z = 4
Rovnice # 3:
x + 2y - z = 7
Nyní 2ypodmínky se navzájem zruší a získáte další novou rovnici:
Nová rovnice # 2:
11x - 11z = 11
Zkombinujte dvě nové rovnice, které jste vytvořili, s cílem vyloučit ještě další proměnnou:
Nová rovnice # 1:
7x - 2z = 12
Nová rovnice # 2:
11x - 11z = 11
Zatím se nezruší žádné proměnné, takže budete muset upravit obě rovnice. Vynásobte obě strany první nové rovnice číslem 11 a obě strany druhé nové rovnice vynásobte −2. To vám dává:
Nová rovnice # 1 (upravená):
77x - 22z = 132
Nová rovnice # 2 (upravená):
-22x + 22z = -22
Přidejte obě rovnice dohromady a zjednodušte, což vám dává:
x = 2
Nyní, když znáte hodnotuX, můžete jej nahradit původními rovnicemi. To vám dává:
Substituovaná rovnice # 1:
y + 3z = 6
Substituovaná rovnice # 2:
-y - 5z = -8
Substituovaná rovnice # 3:
2y - z = 5
Vyberte libovolné dvě z nových rovnic a zkombinujte je, abyste vyloučili další z proměnných. V takovém případě přidání značky Substituovaná rovnice # 1 a Substituovaná rovnice # 2ypěkně zrušit. Po zjednodušení budete mít:
z = 1
Nahraďte hodnotu z kroku 5 do kterékoli ze substituovaných rovnic a poté vyřešte zbývající proměnnou,y.Zvažte substituovanou rovnici # 3:
Substituovaná rovnice # 3:
2y - z = 5
Nahrazení v hodnotě prozdává vám 2y- 1 = 5 a řešení proyvás přivádí k:
y = 3
Řešení pro tento systém rovnic tedy jeX = 2, y= 3 az = 1.
Všimněte si, že obě metody řešení soustavy rovnic vás přivedly ke stejnému řešení: (X = 2, y = 3, z= 1). Zkontrolujte svoji práci dosazením této hodnoty do každé ze tří rovnic.