Když začnete se třemi rovnicemi a třemi neznámými (proměnnými), můžete si myslet, že máte dostatek informací k vyřešení všech proměnných. Při řešení soustavy lineárních rovnic pomocí metody eliminace však můžete tuto soustavu zjistit není dostatečně odhodlaný najít jednu jedinečnou odpověď a místo toho je nekonečné množství řešení možný. K tomu dochází, když informace v jedné z rovnic v systému jsou nadbytečné vůči informacím obsaženým v ostatních rovnicích.
Příklad 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Tento systém rovnic je jasně nadbytečný. Jednu rovnici z druhé můžete vytvořit pouhým vynásobením konstantou. Jinými slovy, sdělují stejné informace. Přestože existují dvě rovnice pro dvě neznámé, x a y, řešení tohoto systému nelze zúžit na jednu hodnotu pro x a jednu hodnotu pro y. (x, y) = (1,1) a (5 / 3,0) to oba řeší, stejně jako mnoho dalších řešení. To je druh „problému“, této nedostatečnosti informací, která vede k nekonečnému množství řešení i ve větších soustavách rovnic.
Příklad 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [podtržítka se používají pouze k udržení mezer.] Metodou eliminace eliminujte x z druhého řádku odečtením druhého řádku od prvního, přičemž x + y + z = 10 _2r
= 10 x_ +z = 5 Eliminujte x ze třetí řady odečtením třetí řady od první. x + y + z = 10 _2r=10 y= 5 Je zřejmé, že poslední dvě rovnice jsou ekvivalentní. y se rovná 5 a první rovnici lze zjednodušit odstraněním y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 nebo x + z = 5 y = 5 Všimněte si, že metoda eliminace zde nebude mít pěkný trojúhelníkový tvar, jako je tomu v případě, že existuje jedno jedinečné řešení. Místo toho bude poslední rovnice (pokud ne více) sama absorbována do ostatních rovnic. Systém je nyní ze tří neznámých a pouze ze dvou rovnic. Systém se nazývá „nedeterminovaný“, protože není dostatek rovnic k určení hodnoty všech proměnných. Možných řešení je nekonečné množství.Jak napsat nekonečné řešení
Nekonečné řešení pro výše uvedený systém lze zapsat pomocí jedné proměnné. Jeden způsob zápisu je (x, y, z) = (x, 5,5-x). Protože x může nabrat nekonečný počet hodnot, řešení může nabrat nekonečný počet hodnot.