Jen málo věcí udeří do začínajícího studenta algebry strach, jako by viděl exponenty - výrazy jakoy2, X3 nebo dokonce děsivéyX- vyskočí v rovnicích. Chcete-li vyřešit rovnici, musíte nějakým způsobem nechat tyto exponenty odejít. Ale po pravdě řečeno, tento proces není tak obtížný, jakmile se naučíte řadu jednoduchých strategií, z nichž většina má kořeny v základních aritmetických operacích, které používáte roky.
Zjednodušte a zkombinujte podobné podmínky
Někdy, pokud máte štěstí, můžete mít exponentové výrazy v rovnici, které se navzájem ruší. Zvažte například následující rovnici:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2 (x ^ 2 + 2)
S bystrým okem a trochou praxe si můžete všimnout, že exponentové výrazy se ve skutečnosti navzájem ruší, tedy:
Jakmile zjednodušíte pravou stranu vzorové rovnice, uvidíte, že máte stejné exponentové výrazy na obou stranách znaménka rovnosti:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2x ^ 2 + 4
Odečtěte 2X2 z obou stran rovnice. Protože jste provedli stejnou operaci na obou stranách rovnice, nezměnili jste její hodnotu. Účinně jste ale exponenta odstranili a nechali jste:
y - 5 = 4
Pokud chcete, můžete dokončit řešení rovnice proypřidáním 5 na obě strany rovnice, čímž získáte:
y = 9
Problémy často nebudou tak jednoduché, ale stále je to příležitost, na kterou je třeba dávat pozor.
Hledejte příležitosti k faktoru
S časem, cvičením a spoustou hodin matematiky budete sbírat vzorce pro factoring určitých typů polynomů. Je to hodně jako sbírání nástrojů, které uchováváte v sadě nástrojů, dokud je nepotřebujete. Trik se učí identifikovat, které polynomy lze snadno zohlednit. Tady jsou některé z nejběžnějších vzorců, které můžete použít, s příklady jejich použití:
Pokud vaše rovnice obsahuje dvě čtvercová čísla se znaménkem minus mezi nimi - napříkladX2 − 42 - můžete je rozdělit pomocí vzorceA2 − b2 = (a + b) (a - b). Pokud použijete vzorec na příklad, polynomX2 − 42 faktory (X + 4)(X − 4).
Trik je naučit se rozpoznávat čtvercová čísla, i když nejsou zapsána jako exponenty. Například příkladX2 − 42 je pravděpodobnější, že bude napsán jakoX2 − 16.
Pokud vaše rovnice obsahuje dvě krychlová čísla, která se sčítají, můžete je faktorovat pomocí vzorce
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Zvažte příklady3 + 23, které pravděpodobně uvidíte psané jakoy3 + 8. Když nahradíteya 2 do vzorce proAabrespektive máte:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Je zřejmé, že exponent úplně nezmizel, ale někdy je tento typ vzorce užitečným přechodným krokem k jeho odstranění. Například factoring takto v čitateli zlomku může vytvořit výrazy, které pak můžete zrušit výrazy od jmenovatele.
Pokud vaše rovnice obsahuje dvě krychlová čísla s jednímodečtenood druhého je můžete faktorovat pomocí vzorce velmi podobného vzoru uvedenému v předchozím příkladu. Ve skutečnosti je umístění znaménka mínus jediným rozdílem mezi nimi, protože vzorec pro rozdíl kostek je:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Zvažte příkladX3 − 53, který by se s větší pravděpodobností psal jakoX3 − 125. StřídáníXproAa 5 prob, dostaneš:
(x - 5) (x ^ 2 + 5x + 5 ^ 2)
Stejně jako dříve, i když to exponenta zcela nevylučuje, může to být užitečný mezikrok na cestě.
Izolovat a použít radikál
Pokud žádný z výše uvedených triků nefunguje a máte pouze jeden výraz obsahující exponent, můžete použít nejběžnější metodu „zbavení se“ „exponentu: Izolujte exponentový člen na jedné straně rovnice a poté použijte vhodný radikál na obě strany rovnice rovnice. Zvažte příklad
z ^ 3 - 25 = 2
Izolujte exponentový člen přidáním 25 na obě strany rovnice. To vám dává:
z ^ 3 = 27
Index kořene, který použijete - tj. Malé číslo horního indexu před radikálním znaménkem - by měl být stejný jako exponent, který se pokoušíte odstranit. Protože exponentový člen v příkladu je krychle nebo třetí mocnina, musíte k jejímu odstranění použít kořen krychle nebo třetí kořen. To vám dává:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Což zase zjednodušuje na:
z = 3