Jak řešit kubické rovnice

Řešení polynomiálních funkcí je klíčovou dovedností pro kohokoli, kdo studuje matematiku nebo fyziku, ale zvládnout tento proces - zejména pokud jde o funkce vyššího řádu - může být docela náročné. Kubická funkce je jedním z nejnáročnějších typů polynomiálních rovnic, které možná budete muset vyřešit ručně. I když to nemusí být tak jednoduché jako řešení kvadratické rovnice, existuje několik metod můžete použít k nalezení řešení kubické rovnice, aniž byste se uchýlili ke stránkám a stránkám podrobností algebra.

Kubická funkce je polynom třetího stupně. Obecná polynomiální funkce má tvar:

Tady, X je proměnná, n je jednoduše libovolné číslo (a stupeň polynomu), k je konstanta a ostatní písmena jsou konstantní koeficienty pro každou mocninu X. Takže kubická funkce má n = 3, a je jednoduše:

Kde v tomto případě d je konstanta. Obecně řečeno, když musíte vyřešit kubickou rovnici, zobrazí se vám ve formě:

Každé řešení pro X se nazývá „kořen“ rovnice. Kubické rovnice mají buď jeden skutečný kořen, nebo tři, i když se mohou opakovat, ale vždy existuje alespoň jedno řešení.

Typ rovnice je definován nejvyšším výkonem, takže ve výše uvedeném příkladu by se nejednalo o kubickou rovnici, pokud a = 0, protože by to byl nejsilnější pojem bx² a byla by to kvadratická rovnice. To znamená, že následující jsou všechny kubické rovnice:

Nejjednodušší způsob, jak vyřešit kubickou rovnici, zahrnuje trochu dohadů a algoritmický typ procesu zvaného syntetické dělení. Začátek je však v zásadě stejný jako metoda pokusu a omylu pro řešení kubických rovnic. Zkuste hádáním zjistit, co je jedním z kořenů. Pokud máte rovnici, kde první koeficient, A, rovná se 1, pak je o něco snazší uhodnout jeden z kořenů, protože vždy jsou to faktory konstantního členu, který je reprezentován výše d.

Podíváme-li se například na následující rovnici:

Musíte uhodnout jednu z hodnot pro X, ale od A = 1 v tomto případě víte, že ať už je hodnota jakákoli, musí to být faktor 24. První takový faktor je 1, ale to by zanechalo:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Což není nula a −1 by odešlo:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Což opět není nula. Další, X = 2 by dalo:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Další selhání. Zkouším X = −2 dává:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

To znamená X = −2 je kořen kubické rovnice. To ukazuje výhody a nevýhody metody pokusu a omylu: Odpověď můžete získat bez velkého množství pomyšlení, ale je to časově náročné (zejména pokud musíte před nalezením kořene přejít na vyšší faktory). Naštěstí, když najdete jeden kořen, můžete snadno vyřešit zbytek rovnice.

Klíčem je začlenění faktorové věty. To říká, že pokud X = s je řešení, pak (X – s) je faktor, který lze z rovnice vytáhnout. Pro tuto situaci s = -2, a tak (X + 2) je faktor, který můžeme vytáhnout na odchod:

Výrazy v druhé skupině závorek mají formu kvadratické rovnice, takže pokud najdete odpovídající hodnoty pro A a b, rovnici lze vyřešit.

Toho lze dosáhnout pomocí syntetického dělení. Nejprve zapište koeficienty původní rovnice do horního řádku tabulky s dělicí čarou a poté známým kořenem vpravo:

Ponechte jeden náhradní řádek a poté pod něj přidejte vodorovnou čáru. Nejprve vezměte první číslo (v tomto případě 1) dolů do řádku pod vodorovnou čarou

Nyní vynásobte číslo, které jste právě snížili, známým kořenem. V tomto případě 1 × -2 = -2, a to se zapíše pod další číslo v seznamu, a to následovně:

Poté přidejte čísla do druhého sloupce a vložte výsledek pod vodorovnou čáru:

Nyní opakujte postup, kterým jste právě prošli, s novým číslem pod vodorovnou čarou: Vynásobte root, vložte odpověď na prázdné místo v dalším sloupci a poté přidejte sloupec, abyste získali nové číslo na spodní řádek. Toto ponechává:

A pak projít procesem naposled.

Skutečnost, že poslední odpověď je nula, vám říká, že máte platný root, takže pokud to není nula, udělali jste někde chybu.

Dolní řádek nyní popisuje faktory tří výrazů v druhé sadě závorek, takže můžete psát:

A tak:

Toto je nejdůležitější fáze řešení a od tohoto bodu můžete pokračovat mnoha způsoby.

Jakmile odstraníte faktor, můžete najít řešení pomocí faktorizace. Z výše uvedeného kroku je to v zásadě stejný problém jako factoring kvadratické rovnice, což může být v některých případech náročné. Pro výraz:

Pokud si vzpomenete, že dvě čísla, která zadáte do závorek, musíte přidat, abyste dostali druhý koeficient (7), a vynásobte je, abyste dostali třetí (12), je to v tomto případě celkem snadné:

Pokud chcete, můžete to znásobit. Nenechte se odradit, pokud hned nevidíte faktorizaci; chce to trochu cviku. To ponechává původní rovnici jako:

Který můžete okamžitě vidět, má řešení na X = -2, 3 a 4 (všechny jsou faktory 24, původní konstanta). Teoreticky je také možné vidět celou faktorizaci vycházející z původní verze rovnice, ale to je mnoho náročnější, takže je lepší najít jedno řešení pokusem a omylem a použít výše uvedený přístup, než se pokusíte zjistit a faktorizace.

Pokud se snažíte vidět faktorizaci, můžete použít vzorec kvadratické rovnice:

Chcete-li najít zbývající řešení.

Ačkoli je jeho řešení mnohem větší a méně jednoduché, existuje jednoduchý řešič kubických rovnic ve formě kubického vzorce. Je to jako vzorec kvadratické rovnice, ve kterém zadáte své hodnoty A, b, C a d získat řešení, ale je mnohem delší.

Uvádí, že:

kde

a

Používání tohoto vzorce je časově náročné, ale pokud nechcete použít metodu pokusu a omylu pro řešení kubických rovnic a poté kvadratický vzorec, bude to fungovat, když to celé projdete.