Částice v krabici (fyzika): Rovnice, odvození a příklady

Rozdíl mezi klasickou mechanikou a kvantovou mechanikou je obrovský. Zatímco v klasické mechanice mají částice a objekty jasně definované polohy, v kvantové mechanice (před měřením) a lze jen říci, že částice mají řadu možných poloh, které jsou vlnou popsány z hlediska pravděpodobnosti funkce.

Schrodingerova rovnice definuje vlnovou funkci kvantově mechanických systémů a naučit se ji používat a interpretovat je důležitou součástí každého kurzu kvantové mechaniky. Jedním z nejjednodušších příkladů řešení této rovnice je částice v krabici.

Funkce Wave

V kvantové mechanice je částice reprezentována avlnová funkce. To se obvykle označuje řeckým písmenem psi (Ψ) a záleží na poloze i na čase a obsahuje vše, co lze o částice vědět.

Modul této funkce na druhou vám říká pravděpodobnost, že částice bude nalezena na dané poziciXv časet, za předpokladu, že je funkce „normalizována“. To znamená pouze upravit tak, aby bylo jisté, že se nachází nanějakýpoziceXv době, kdytkdyž jsou shrnuty výsledky na každém místě, tj. podmínka normalizace říká, že:

instagram story viewer

\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1

Pomocí vlnové funkce můžete vypočítat očekávanou hodnotu polohy částice v časet, kde očekávaná hodnota znamená pouze průměrnou hodnotu, za kterou byste se dostaliXpokud jste měření opakovali vícekrát. To samozřejmě neznamená, že to bude výsledek, který získáte pro dané měření - to jeúčinněnáhodná, i když některá místa jsou obvykle podstatně pravděpodobnější než jiná.

Existuje mnoho dalších veličin, pro které můžete vypočítat očekávané hodnoty, jako jsou hodnoty hybnosti a energie, a také mnoho dalších „pozorovatelných“.

Schrodingerova rovnice

Schrodingerova rovnice je diferenciální rovnice, která se používá k nalezení hodnoty vlnové funkce a vlastních stavů pro energii částice. Rovnici lze odvodit z úspory energie a výrazů pro kinetickou a potenciální energii částice. Nejjednodušší způsob, jak to napsat, je:

H (Ψ) = iℏ \ frac {\ částečnéΨ} {\ částečné t}

Ale zdeHpředstavujeHamiltonovský operátor, což je samo o sobě poměrně dlouhý výraz:

H = \ frac {ℏℏ} {2m} \ frac {\ částečné ^ 2} {\ částečné x ^ 2} + V (x)

Tady,mje hmotnost, ℏ je Planckova konstanta dělená 2π, aPROTI​ (​X) je obecná funkce pro potenciální energii systému. Hamiltonián má dvě odlišné části - první člen je kinetická energie systému a druhý člen je potenciální energie.

Každá pozorovatelná hodnota v kvantové mechanice je spojena s operátorem a v časově nezávislé verzi Schrodingerovy rovnice je Hamiltonian energetickým operátorem. Ve výše uvedené časově závislé verzi však Hamiltonian generuje také časový vývoj vlnové funkce.

Kombinací všech informací obsažených v rovnici můžete popsat vývoj částice v prostoru a čase a předpovědět pro ni také možné energetické hodnoty.

Časově nezávislá Schrodingerova rovnice

Časově závislou část rovnice lze odstranit - k popisu situace, která se časem výrazně nevyvíjí - rozdělením vlnové funkce na prostorovou a časovou:Ψ​(​X​, ​t​) = ​Ψ​(​X​) ​F​(​t). Části závislé na čase lze poté zrušit z rovnice, což ponechává časově nezávislou verzi Schrodingerovy rovnice:

H Ψ (x) = E (Ψ (x))

Eje energie systému. Toto má přesnou formu rovnice vlastního čísla sΨ​(​X) je vlastní funkcí aEbýt vlastní číslo, což je důvod, proč se časově nezávislá rovnice často nazývá rovnicí vlastního čísla pro energii kvantově mechanické soustavy. Časová funkce je jednoduše dána vztahem:

f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}

Časově nezávislá rovnice je užitečná, protože zjednodušuje výpočty pro mnoho situací, kdy vývoj času není nijak zvlášť důležitý. Toto je nejužitečnější forma pro problémy „částice v krabici“ a dokonce pro stanovení energetických hladin elektronů kolem atomu.

Částice v krabici (Infinite Square Well)

Jedno z nejjednodušších řešení časově nezávislé Schrodingerovy rovnice je pro částice v nekonečně hluboká čtvercová jamka (tj. nekonečná potenciální jamka) nebo jednorozměrná krabice základny délkaL. Samozřejmě se jedná o teoretické idealizace, ale poskytuje základní představu o tom, jak řešíte Schrodingerovu rovnici bez zohlednění mnoha komplikací, které v přírodě existují.

S potenciální energií nastavenou na 0 mimo studnu, kde je hustota pravděpodobnosti také 0, se Schrodingerova rovnice pro tuto situaci stává:

\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)

A obecné řešení pro rovnici této formy je:

Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)

Pohled na okrajové podmínky to však může pomoci zúžit. ProX= 0 aX= L, tj. Strany krabice nebo stěny studny, musí být vlnová funkce nulová. Funkce kosinus má hodnotu 1, když je argument 0, takže pro splnění okrajových podmínek je konstantaBmusí se rovnat nule. Toto ponechává:

Ψ (x) = A \ sin (kx)

Můžete také použít okrajové podmínky k nastavení hodnoty prok. Protože funkce sin jde při hodnotách na nulunπ, kde kvantové číslon= 0, 1, 2, 3… atd., To znamená kdyX​ = ​L, rovnice bude fungovat, pouze pokudk​ = ​n​π / ​L. Nakonec můžete použít skutečnost, že vlnová funkce musí být normalizována, aby se zjistila hodnotaA(integrovat do všech možnýchXhodnoty, tj. od 0 doL, a poté nastavte výsledek rovný 1 a znovu uspořádejte), abyste se dostali ke konečnému výrazu:

Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)

Pomocí původní rovnice a tohoto výsledku pak můžete vyřešit proE, který poskytuje:

E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Všimněte si, že skutečnost, ženje v tomto výrazu znamená, že energetické hladiny jsoukvantováno, takže nemohou vzítžádnýhodnota, ale pouze diskrétní sada konkrétních hodnot úrovně energie v závislosti na hmotnosti částice a délce krabice.

Částice v krabici (Finite Square Well)

Stejný problém se trochu komplikuje, pokud má potenciální studna konečnou výšku stěny. Například pokud potenciálPROTI​ (​X) přebírá hodnotuPROTI0 mimo potenciální jámu a 0 uvnitř ní lze vlnovou funkci určit ve třech hlavních oblastech pokrytých problémem. Jedná se však o více zapojený proces, takže zde uvidíte pouze výsledky, nikoli celý proces.

Pokud je studna naX= 0 ažX​ = ​Lopět pro region, kdeX<0 řešení je:

Ψ (x) = Be ^ {kx}

Pro regionX​ > ​L, to je:

Ψ (x) = Ae ^ {- kx}

Kde

k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Pro oblast uvnitř studny, kde 0 <X​ < ​L, obecné řešení je:

Ψ (x) = C \ sin (šx) + D \ cos (šx)

Kde

w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

Potom můžete použít okrajové podmínky k určení hodnot konstantA​, ​B​, ​CaDs tím, že kromě definování hodnot na stěnách studny musí být vlnová funkce a její první derivace všude spojitá a vlnová funkce musí být všude konečná.

V jiných případech, jako jsou mělké boxy, úzké boxy a mnoho dalších konkrétních situací, můžete najít přiblížení a různá řešení.

Teachs.ru
  • Podíl
instagram viewer