Schrodingerova rovnice je nejzákladnější rovnicí v kvantové mechanice a naučit se ji používat a co to znamená, je nezbytné pro každého začínajícího fyzika. Rovnice je pojmenována po Erwinovi Schrödingerovi, který v roce 1933 získal Nobelovu cenu spolu s Paulem Diracem za přínos pro kvantovou fyziku.
Schrodingerova rovnice popisuje vlnovou funkci kvantově mechanické soustavy, která dává pravděpodobnostní informace o umístění částice a dalších pozorovatelných veličinách, jako je její hybnost. Nejdůležitější věcí, kterou si o kvantové mechanice po poznání rovnice uvědomíte, je, že zákony v kvantové oblasti jsouvelmi rozdílnýod těch z klasické mechaniky.
Funkce Wave
Vlnová funkce je jedním z nejdůležitějších konceptů v kvantové mechanice, protože každá částice je reprezentována vlnovou funkcí. Obvykle se mu dává řecké písmeno psi (Ψ) a záleží na poloze a čase. Když máte výraz pro vlnovou funkci částice, řekne vám vše, o čem lze vědět fyzický systém a různé hodnoty pro pozorovatelné veličiny lze získat použitím operátoru na to.
Druhá mocnina modulu vlnové funkce vám říká pravděpodobnost nalezení částice v určité polozeXv danou dobut. To platí pouze v případě, že je funkce „normalizovaná“, což znamená, že součet čtvercového modulu na všech možných místech se musí rovnat 1, tj. Že částice jeurčitýbýt lokalizovánněkde.
Pamatujte, že vlnová funkce poskytuje pouze pravděpodobnostní informace, a proto nemůžete předpovědět výsledek žádného pozorování, i když vyuměturčit průměr z mnoha měření.
K výpočtu hodnoty můžete použít vlnovou funkci„Očekávaná hodnota“pro polohu částice v časet, přičemž očekávanou hodnotou je průměrná hodnotaXbyste získali, kdybyste měření opakovali mnohokrát.
To vám zase neříká nic o konkrétním měření. Ve skutečnosti je vlnová funkce spíše distribucí pravděpodobnosti pro jednu částici než cokoli konkrétního a spolehlivého. Použitím příslušného operátoru můžete také získat očekávané hodnoty hybnosti, energie a dalších pozorovatelných veličin.
Schrodingerova rovnice
Schrodingerova rovnice je lineární parciální diferenciální rovnice, která popisuje vývoj a kvantový stav podobným způsobem jako Newtonovy zákony (zejména druhý zákon) v klasice mechanika.
Schrodingerova rovnice je však vlnovou rovnicí pro vlnovou funkci dané částice, a proto použití rovnice k předpovědi budoucího stavu systému se někdy nazývá „vlnová mechanika“. Samotná rovnice pochází z úspory energie a je postavena na operátoru zvaném Hamiltonian.
Nejjednodušší forma Schrodingerovy rovnice, kterou lze zapsat, je:
H Ψ = iℏ \ frac {\ částečnéΨ} {\ částečné t}
Kde ℏ je redukovaná Planckova konstanta (tj. Konstanta dělená 2π) aHje Hamiltonovský operátor, který odpovídá součtu potenciální energie a kinetické energie (celkové energie) kvantového systému. Hamiltonián je sám o sobě poměrně dlouhý výraz, takže celou rovnici lze napsat jako:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ částečné ^ 2 Ψ} {\ částečné x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ částečnéΨ} {\ částečné t}
Všimněte si, že někdy (pro výslovně trojrozměrné problémy) je první parciální derivace zapsána jako laplaciánský operátor ∇2. Hamiltonian v podstatě působí na vlnovou funkci, aby popsal její vývoj v prostoru a čase. Ale v časově nezávislé verzi rovnice (tj. Když systém nezávisí nat), Hamiltonián dává energii systému.
Řešení Schrodingerovy rovnice znamená nalezenífunkce kvantové mechanické vlnykterý ji uspokojuje pro konkrétní situaci.
Časově závislá Schrodingerova rovnice
Časově závislá Schrodingerova rovnice je verzí z předchozí části a popisuje vývoj vlnové funkce částice v čase a prostoru. Jednoduchým případem, který je třeba zvážit, je volná částice, protože potenciální energiePROTI= 0 a řešení má podobu rovinné vlny. Tato řešení mají formu:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kdek = 2π / λ, λje vlnová délka aω = E / ℏ.
Pro jiné situace popisuje potenciální energetická část původní rovnice okrajové podmínky pro prostorová část vlnové funkce a ta je často rozdělena na časově-evoluční funkci a časově nezávislou rovnice.
Časově nezávislá Schrodingerova rovnice
U statických situací nebo řešení, která tvoří stojaté vlny (například potenciální jáma, řešení ve stylu „částice v krabici“), můžete vlnovou funkci rozdělit na časovou a prostorovou část:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Když to projdete v plném rozsahu, časová část může být zrušena, což ponechává formu Schrodingerovy rovnicepouzezávisí na poloze částice. Časově nezávislá vlnová funkce je pak dána vztahem:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
TadyEje energie kvantově mechanické soustavy aHje Hamiltonovský operátor. Tato forma rovnice má přesnou formu rovnice vlastních čísel s vlnovou funkcí je vlastní funkce a energie je vlastní hodnota, když se použije hamiltonovský operátor k tomu. Rozšíření Hamiltonian do více explicitní formy, to může být napsáno v plném rozsahu jako:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ částečné ^ 2 Ψ} {\ částečné x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Časová část rovnice je obsažena ve funkci:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Řešení časově nezávislé Schrodingerovy rovnice
Časově nezávislá Schrodingerova rovnice se dobře hodí k poměrně přímočarým řešením, protože ořezává celou formu rovnice. Dokonalým příkladem toho je skupina řešení „částice v krabici“, kde se předpokládá, že částice je v nekonečném čtvercovém potenciálovém vrtu v jedné dimenzi, takže existuje nulový potenciál (tj.PROTI= 0) po celou dobu a není pravděpodobné, že by částice byla nalezena mimo studnu.
Existuje také konečná čtvercová studna, kde potenciál na „stěnách“ studny není nekonečný, ai když je vyšší než energie částice, existujenějakýmožnost nalezení částice mimo ni díky kvantovému tunelování. Pro nekonečný potenciál dobře mají řešení formu:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KdeLje délka studny.
Potenciál delta funkce je velmi podobný koncept potenciální studny, kromě šířkyLjít na nulu (tj. být nekonečně malý kolem jednoho bodu) a hloubka studny jít do nekonečna, zatímco součin dvou (U0) zůstává konstantní. V této velmi idealizované situaci existuje pouze jeden vázaný stav, daný:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
S energií:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Řešení atomu vodíku podle Schrodingerovy rovnice
Nakonec má řešení atomu vodíku zjevné aplikace na fyziku v reálném světě, ale v praxi situaci protože elektron kolem jádra atomu vodíku lze považovat za docela podobný potenciální studni problémy. Situace je však trojrozměrná a nejlépe ji lze popsat ve sférických souřadnicíchr, θ, ϕ. Řešení v tomto případě je dáno:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KdePjsou legendární polynomy,Rjsou specifická radiální řešení aNje konstanta, kterou opravíte pomocí skutečnosti, že vlnová funkce by měla být normalizována. Rovnice poskytuje energetické hladiny dané:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KdeZzde je atomové číslo (takžeZ= 1 pro atom vodíku),Ev tomto případě je náboj elektronu (spíše než konstanta)E = 2.7182818...), ϵ0 je permitivita volného prostoru aμje redukovaná hmotnost, která je založena na hmotnosti protonu a elektronu v atomu vodíku. Tento výraz je vhodný pro jakýkoli atom podobný vodíku, což znamená jakoukoli situaci (včetně iontů), kde je jeden elektron obíhající kolem centrálního jádra.