Přidejte hodnoty tří úhlů v libovolném trojúhelníku a dostanete 180 stupňů. Pokud máte pravý trojúhelník, jeden z jeho úhlů je podle definice 90 stupňů. To znamená, že součet ostatních dvou úhlů musí být 90 stupňů, a pokud znáte jeden z nich, můžete okamžitě najít ten druhý. Jak ale najít úhly, pokud to také nevíte? Odpovědí je spoléhat se na další důležitou vlastnost trojúhelníku, délku jeho stran. Vztahují se k velikosti úhlů.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Najděte úhly v pravém trojúhelníku výpočtem jejich sinu, kosinu nebo tečny, což jsou funkce délek stran trojúhelníku.
Sinus, kosinus a tečna
Když zvolíte, který ze dvou úhlů (ø) v pravém trojúhelníku, který chcete najít, vytvoříte ve vztahu k němu tři strany. Čára, která se dotýká úhlu a sahá až do úhlu 90 stupňů, se nazývápřilehlýstrana, zatímco strana naproti úhlu jenaprotiboční. Thepřeponaje vždy strana naproti pravému úhlu. Na základě těchto definic používají matematici tři poměry, které definují úhel z hlediska délek stran:
Sinus (hřích)je poměr opačné strany k přeponě:
\ sin ø = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {hypotenuse}}
Kosinusje poměr přilehlé strany k přeponě:
\ cos ø = \ frac {\ text {sousední}} {\ text {hypotenuse}}
Tečna (opálení)je poměr opačné strany k sousední straně:
\ tan ø = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {sousední}}
Každý poměr každé dvojice čar odpovídá určitému úhlu a tyto poměry jsou uvedeny v tabulce spolu s úhly, které definují. Pokud můžete měřit délky alespoň dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, musíte pouze spočítat sinus, kosinus nebo tangens úhlu a pomocí tabulky jej vyhledat.
Žebřík proti zdi
Jednou z nejznámějších aplikací těchto principů v reálném světě je žebřík opřený o svislou zeď. Velikost úhlů, které vytváří žebřík se zemí a zdí, je velmi důležitá. Pokud je úhel proti zdi příliš malý, žebřík spadne dozadu, zatímco pokud je úhel na zemi příliš malý, žebřík sklouzne. Protože úhel mezi zdí a zemí je 90 stupňů, můžete pomocí sinusového, kosinusového nebo tangensu vypočítat dva úhly, které žebřík vytváří, a můžete tak zabránit nehodě.
Žebřík tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku.
Tato vzdálenost je sousední stranou při určování úhlu, který žebřík svírá se zemí.
Pomocí kosinových stolů najděte úhel, který žebřík se zemí vytváří. Vypočítejte poměr přilehlé strany k přeponě a poté vyhledejte poměr v tabulce kosinů a najděte odpovídající úhel.
Vypočítejte úhel, který žebřík se stěnou dělá, odečtením úhlu, který jste právě našli, od 90. Alternativně můžete najít hodnotu tohoto úhlu pomocí sinusové tabulky.
Příklad
Žebřík o délce 20 stop spočívá na straně domu a vzdálenost od základny žebříku k základu je 12 stop. Jaké jsou úhly žebříku se zemí a domem?
Vypočítejte kosinus úhlu, který žebřík vytváří se zemí. Své
\ frac {12} {20} = 0,6
Pomocí tabulky kosinů (nebo vědecké kalkulačky) zjistíte, že úhel je téměř přesně 53 stupňů. To činí úhel žebříku vůči zdi
90 - 53 = 36 \ text {stupně}
Tipy
Pokud používáte kalkulačku a znáte kosinus úhlu, stiskněte kos-1 klíč k nalezení úhlu. Totéž platí pro sinus a tangens.