Někdy je nutné najít nenulový vektor, který po vynásobení čtvercovou maticí nám vrátí násobek vektoru. Tento nenulový vektor se nazývá „vlastní vektor“. Vlastní vektory nejsou zajímavé pouze pro matematiky, ale i pro ostatní v profesích, jako je fyzika a inženýrství. K jejich výpočtu budete muset porozumět maticové algebře a determinantům.
Naučte se a rozumějte definici „vlastního vektoru“. Najde se pro čtvercovou matici n x n A a také a skalární vlastní číslo zvané „lambda“. Lambda je reprezentována řeckým písmenem, ale zde jej zkrátíme L. Pokud existuje nenulový vektor x, kde Ax = Lx, tento vektor x se nazývá „vlastní hodnota A.“
Najděte vlastní čísla matice pomocí charakteristické rovnice det (A - LI) = 0. „Det“ znamená determinant a „I“ je matice identity.
Vypočítejte vlastní vektor pro každou vlastní hodnotu tak, že najdete vlastní prostor E (L), což je nulový prostor charakteristické rovnice. Nenulové vektory E (L) jsou vlastní vektory A. Nalezneme je zapojením vlastních vektorů zpět do charakteristické matice a nalezením základny pro A - LI = 0.
Vypočítejte vlastní čísla pomocí charakteristické rovnice. Det (A - LI) je (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, což je charakteristický polynom. Řešení tohoto algebraicky nám dá L1 = 4 a L2 = 2, což jsou vlastní čísla naší matice.
Najděte vlastní vektor pro L = 4 výpočtem prázdného prostoru. Udělejte to umístěním L1 = 4 do charakteristické matice a nalezením základu pro A - 4I = 0. Když to vyřešíme, najdeme x - y = 0 nebo x = y. Toto má pouze jedno nezávislé řešení, protože jsou si rovna, například x = y = 1. Proto v1 = (1,1) je vlastní vektor, který překlenuje vlastní prostor L1 = 4.
Opakujte krok 6 a najděte vlastní vektor pro L2 = 2. Najdeme x + y = 0 nebo x = --y. To má také jedno nezávislé řešení, řekněme x = - 1 a y = 1. Proto v2 = (--1,1) je vlastní vektor, který překlenuje vlastní prostor L2 = 2.