Zvládnutí pojmů sinus a kosinus je nedílnou součástí trigonometrie. Ale jakmile budete mít tyto nápady pod kontrolou, stanou se stavebními kameny pro další užitečné nástroje v trigonometrii a později v kalkulu. Například „zákon kosinů“ je speciální vzorec, pomocí kterého můžete najít chybějící stranu trojúhelníku, pokud víte délka dalších dvou stran plus úhel mezi nimi, nebo najít úhly trojúhelníku, když znáte všechny tři strany.
Zákon kosinů
Zákon kosinusů přichází v několika verzích, podle toho, s jakými úhly nebo stranami trojúhelníku máte co do činění:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
V každém případě,A, baCjsou strany trojúhelníku aA, BneboCje úhel naproti straně stejného písmene. TakAje úhel opačné stranya, Bje úhel opačné stranyb, aCje úhel opačné stranyC. Toto je forma rovnice, kterou použijete, pokud zjišťujete délku jedné ze stran trojúhelníku.
Zákon kosinů lze přepsat také ve verzích, které usnadňují nalezení kteréhokoli ze tří úhlů trojúhelníku, za předpokladu, že znáte délky všech tří stran trojúhelníku:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Řešení pro stranu
Abyste mohli použít kosinový zákon k řešení strany trojúhelníku, potřebujete tři informace: délky dalších dvou stran trojúhelníku plus úhel mezi nimi. Vyberte verzi vzorce, kde strana, kterou chcete najít, je vlevo od rovnice a informace, které již máte, jsou vpravo. Takže pokud chcete zjistit délku stranyA, použili byste verzi
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Nahraďte do vzorce hodnoty dvou známých stran a úhel mezi nimi. Pokud má váš trojúhelník známé stranybaCže měří 5 jednotek a 6 jednotek a úhel mezi nimi měří 60 stupňů (což může být také vyjádřeno v radiánech jako π / 3), měli byste:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Pomocí tabulky nebo kalkulačky vyhledejte hodnotu kosinu; v tomto případě cos (60) = 0,5, což vám dává rovnici:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Zjednodušte výsledek kroku 2. To vám dává:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Což zase zjednodušuje na:
a ^ 2 = 31
Vyřešte druhou odmocninu obou stran a dokončete řešeníA. Zbývá vám:
a = \ sqrt {31}
I když můžete použít graf nebo kalkulačku k odhadu hodnoty √31 (je to 5 568), často vám bude dovoleno - a dokonce i povzbuzeno - nechat odpověď v její přesnější radikální podobě.
Řešení pro úhel
Stejným postupem můžete najít libovolný úhel trojúhelníku, pokud znáte všechny jeho tři strany. Tentokrát si vyberete verzi vzorce, která umístí chybějící nebo „neznám to“ úhel na levé straně znaménka rovnosti. Představte si, že chcete najít míru úhlu C (který je definován jako úhel opačné strany)C). Použili byste tuto verzi vzorce:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Nahraďte známé hodnoty - v tomto typu problému, to znamená délky všech tří stran trojúhelníku - do rovnice. Jako příklad nechte strany vašeho trojúhelníkuA= 3 jednotky,b= 4 jednotky aC= 25 jednotek. Vaše rovnice tedy bude:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Jakmile zjednodušíte výslednou rovnici, budete mít:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
nebo jednoduše cos (C) = 0.
Vypočítejte inverzní kosinus nebo obloukový kosinus 0, často označovaný jako cos-1(0). Nebo jinými slovy, který úhel má kosinus 0? Ve skutečnosti existují dva úhly, které vracejí tuto hodnotu: 90 stupňů a 270 stupňů. Podle definice však víte, že každý úhel v trojúhelníku musí být menší než 180 stupňů, takže jako alternativa zbývá pouze 90 stupňů.
Takže míra vašeho chybějícího úhlu je 90 stupňů, což znamená, že máte co do činění s pravým trojúhelníkem, i když tato metoda funguje také s nepravými trojúhelníky.