V geometrii je radián jednotka používaná k měření úhlů. Radián pochází z délky poloměru kruhu. Segment obvodu kruhu, který odpovídá úhlu vytvořenému dvěma přímkami, vytváří oblouk. Úhel, který tento oblouk vytváří, když kreslíte čáry z počátečních a koncových bodů do středu kruhu, je jeden radián. Ačkoli by se radian mohl zpočátku zdát divný a komplikovaný, zjednodušuje to rovnice v matematice a fyzice.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
V geometrii je radián jednotka založená na kružnici a slouží k měření úhlů. Usnadňuje výpočty v pokročilých typech matematiky.
Stupně vs. Radiány
Kromě fyziky a pokročilé matematiky jsou stupně obvykle známějšími jednotkami pro úhlová měření. Například kruh má 360 stupňů, trojúhelník 180 a pravý úhel 90. Naproti tomu plná kružnice má 2 × π (pi) radiány, trojúhelník má π radiány a pravý úhel je π / 2 radiány. Kruh má celý počet stupňů, zatímco v radiánech je hodnota iracionální číslo, takže radiány na první ruměnec mohou vypadat divně. Na druhou stranu můžete vyjádřit zlomky stupně jako desetinné číslo nebo jako minuty, sekundy a desetinné sekundy, které také používáte s časem, takže stupeň má své vlastní problémy.
Snadnější a těžší
Měření stupňů je pro základní aritmetiku a trigonometrii obvykle jednodušší než radiány; při vyjádření úhlu se málokdy musíte vyrovnat se zlomky π. Ale pro kalkul a další pokročilou matematiku se ukazuje, že radiány jsou jednodušší. Například výkonová řada pro sinusovou funkci v radiánech je následující:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
Ve stupních funkce vypadá takto:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
U této výkonové řady je třeba opakovat „π ×X/ 180 ”pro každý termín - spousta dalšího psaní a výpočtu ve srovnání s úhlednějším, kompaktnějším ekvivalentem v radiánech. Radián pochází spíše z přirozené geometrie kruhu než z dělení libovolným počtem, jak to dělají stupně. Protože radiány usnadňují mnoho výpočtů, matematici považují jednotku za „přirozenější“ než stupně.
Použití pro radiány
Kromě výkonových řad, jako je příklad sinusové funkce, uvidíte v matematice radiány zahrnující počet a diferenciální rovnice. Například když použijete radiány, derivace sinusové funkce, sin (X), je jednoduše kosinus, cos (X). Ve stupních však derivace hříchu (X) je těžkopádnější (π ÷ 180) × cos (X). Jak postupujete v matematice, problémy se zhoršují a řešení vyžadují mnohem více řádků výpočtu a algebry. Radians vám ušetří spoustu zbytečného psaní navíc a sníží pravděpodobnost, že uděláte chybu.
Ve fyzice používají vzorce pro frekvenci vln a rychlost otáčení objektů malou omegu, “ω, “Jako pohodlná zkratka pro„ 2 × π × radiány za sekundu. “
Převod stupňů na radiány
Vzorce pro převod stupňů na radiány a zpět jsou přímé. Chcete-li převést úhly ve stupních na radiány, vynásobte úhel π a poté vydělte 180. Například kruh má 360 stupňů. Vynásobeno π, které se stane 360π; poté vydělte 180 a získáte 2π radiány. Chcete-li převést z radiánů na stupně, vynásobte je 180 a poté vydělte π. Například převeďte pravý úhel, π ÷ 2 radiány. Vynásobte 180, abyste získali 90π, a poté vydělte π, abyste získali výsledek, 90 stupňů.