Stejně jako v algebře, i když se začnete učit trigonometrii, budete hromadit sady vzorců, které jsou užitečné pro řešení problémů. Jednou takovou sadou jsou poloviční úhlové identity, které můžete použít pro dva účely. Jedním z nich je převod trigonometrických funkcí (θ/ 2) do funkcí, pokud jde o známější (a snadněji manipulovatelné)θ. Druhým je nalezení skutečné hodnoty trigonometrických funkcíθ, kdyžθlze vyjádřit jako polovinu známějšího úhlu.
Kontrola identit polovičního úhlu
Mnoho učebnic matematiky bude uvádět čtyři primární poloviční úhlové identity. Ale použitím kombinace algebry a trigonometrie lze tyto rovnice masírovat do řady užitečných forem. Nemusíte si je nutně pamatovat všechny (pokud váš učitel na tom nebude trvat), ale měli byste alespoň pochopit, jak je používat:
Poloviční úhel identity pro Sine
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Half-Angle Identity for Cosine
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Poloviční úhly pro tečnu
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Poloviční úhly pro kotangenty
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Příklad použití identit polovičního úhlu
Jak tedy používáte identitu polovičního úhlu? Prvním krokem je rozpoznání, že máte co do činění s úhlem, který je polovinou oproti známému úhlu.
- Kvadrant I: všechny spouštěcí funkce
- Kvadrant II: pouze sinus a kosekans
- Kvadrant III: pouze tečna a kotangens
- Kvadrant IV: pouze kosinus a secan
Představte si, že jste požádáni, abyste našli sinus úhlu 15 stupňů. Toto není jeden z úhlů, pro který si většina studentů zapamatuje hodnoty trigových funkcí. Ale pokud necháte 15 stupňů rovných θ / 2 a poté vyřešíte pro θ, zjistíte, že:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Protože výsledné θ, 30 stupňů, je známější úhel, bude zde užitečné použití vzorce polovičního úhlu.
Protože jste byli požádáni, abyste našli sinus, je na výběr opravdu jen jeden polohranný vzorec:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Nahrazení vθ/ 2 = 15 stupňů aθ= 30 stupňů vám dává:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Pokud byste byli požádáni, abyste našli tečnu nebo kotangens, přičemž obě napůl znásobují způsoby vyjádření své poloviční úhlové identity, jednoduše byste si vybrali verzi, která vypadala nejsnadněji.
Znaménko ± na začátku některých polovičních identit znamená, že dotyčný kořen může být kladný nebo záporný. Tuto nejednoznačnost můžete vyřešit využitím znalostí trigonometrických funkcí v kvadrantech. Zde je krátká rekapitulace, které trig funkce se vracejípozitivníhodnoty, ve kterých kvadranty:
Protože v tomto případě váš úhel θ představuje 30 stupňů, který spadá do kvadrantu I, víte, že sinusová hodnota, kterou vrátí, bude kladná. Takže můžete zahodit znaménko ± a jednoduše vyhodnotit:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Nahraďte známou a známou hodnotu cos (30). V tomto případě použijte přesné hodnoty (na rozdíl od desítkových aproximací z grafu):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Dále zjednodušte pravou stranu rovnice a vyhledejte hodnotu hříchu (15). Začněte vynásobením výrazu pod radikálem 2/2, což vám dává:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
To zjednodušuje:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Potom můžete vyčíslit druhou odmocninu 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Ve většině případů je to zhruba tak jednoduché, jak byste to zjednodušili. I když výsledek nemusí být strašně pěkný, přeložili jste sinus neznámého úhlu do přesného množství.