Pokud vidíte výrazy 32 a 53, můžete s rozmachem oznámit, že to znamená „tři na čtverce“ a „pět na kostky“, a budete moci pokračovat v hledání ekvivalentních čísel bez exponenty, čísla představovaná horním indexem vpravo nahoře nahoře. Tato čísla jsou v tomto případě 9 a 125.
Ale co když místo, řekněme, jednoduché exponenciální funkce, jako je y = x 3, musíte místo toho vyřešit rovnici jako y = 3X. Zde se x, závislá proměnná, jeví jako exponent. Existuje způsob, jak tuto proměnnou stáhnout z okouna, aby se s ní snadněji matematicky vyrovnalo?
Ve skutečnosti existuje a odpověď spočívá v přirozeném doplňování exponentů, což jsou zábavné a užitečné veličiny známé jako logaritmy.
Co jsou to soupeři?
An exponent, také nazývaný a Napájení, je komprimovaný způsob vyjádření opakovaných násobení čísla sám o sobě. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Jakékoli číslo zvednuté na mocninu 1 udržuje stejnou hodnotu; jakékoli číslo s exponentem 0 se rovná 1. Například 721 = 72; 720 = 1.
Exponenti mohou být negativní, což vytváří vztah
X- n= 1 / (xn). Mohou být také vyjádřeny jako zlomky, např. 2(5/3). Pokud jsou vyjádřeny jako zlomky, čitatel i jmenovatel musí být celočíselná čísla.Co jsou to logaritmy?
Logaritmy nebo „logy“ lze považovat za exponenty vyjádřené jako něco jiného než mocniny. To pravděpodobně moc nepomůže, takže možná příklad nebo dva ano.
Ve výrazu 103 = 1,000, číslo 10 je základna, a je povýšen na třetí sílu (nebo síla tři). Můžete to vyjádřit jako „základ 10 zvýšený na třetí mocninu se rovná 1000“.
Příklad logaritmu je log10(1,000) = 3. Všimněte si, že čísla a jejich vzájemné vztahy jsou stejné jako v předchozím příkladu, ale byly přesunuty. Řečeno slovy, „logická základna 10 z 1000 se rovná 3.“
Množství vpravo je síla, na kterou je třeba zvýšit základnu 10, aby se rovnala argument, nebo vstup protokolu, hodnota v závorce (v tomto případě 1 000). Tato hodnota musí být kladná, protože základ - což může být číslo jiné než 10, ale při vynechání se předpokládá 10, např. „Log 4“ - je také vždy kladný.
Užitečná pravidla logaritmu
Jak tedy můžete snadno pracovat mezi protokoly a exponenty? Několik pravidel o chování protokolů může začít s problémy s exponenty.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Řešení pro exponenta
S výše uvedenými informacemi jste připraveni zkusit vyřešit exponent v rovnici.
Příklad: Pokud 50 = 4X, co je x?
Pokud vezmete protokol na základnu 10 každé strany a vynecháte explicitní identifikaci základny, stane se to protokol 50 = protokol 4X. Z výše uvedeného pole víte, že protokol 4X = x log 4. To vám zbývá
log 50 = x log 4, nebo x = (log 50) / (log 4).
Pomocí kalkulačky nebo elektronického zařízení, které si vyberete, zjistíte, že řešení je (1,689 / 0,602) = 2.82.
Řešení exponenciálních rovnic pomocí e
Stejná pravidla platí, když je základna E, takzvaný přirozený logaritmus, který má hodnotu asi 2,7183. Tlačítko pro toto byste měli mít také na kalkulačce. Tato hodnota má také vlastní notaci: logEx se píše jednoduše „ln x.“
- Funkce y = EX i, přičemž e není proměnná, ale konstanta s touto hodnotou, je jedinou funkcí se sklonem rovným vlastní výšce pro všechna x a y.
- Stejně jako log1010X = x, ln eX = x pro všechna x.
Příklad: Vyřešte rovnici 16 = e2,7x.
Jak je uvedeno výše, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, takže x = 2/77 / 2,7 = 1.03.