14. března (3/14) je Den Pi (nemluvě o narozeninách Alberta Einsteina) a stal se tak důležitou událostí, že byl oficiálně uznán Sněmovnou reprezentantů USA v roce 2009.
Existuje mnoho způsobů, jak můžete oslavit tuto příležitost, od nejjednodušší a nejzábavnější (pečení skutečného koláče se symbolem π nahoře pro správnou míru) až po matematičtější a zajímavější. Tady na Sciencingu nikdy odradit vás od výroby koláče, ale existuje mnoho dalších jedinečných aktivit, které vás mohou bavit při pečení nebo po jídle jednoho nebo dvou plátků.
Ačkoli lidé věděli o pí více než 4 000 let, historicky jedním z hlavních úkolů matematiků bylo stále lepší a lepší aproximace nekonečně se prodlužujících desetinných míst. Samozřejmě se do 31 nikdy nedostanete bilion číslice v současné době známé, ale můžete použít některé jedinečné metody, abyste získali docela blízkou aproximaci slavného čísla.
Obdélníková metoda
Tento přístup je praktičtější než ostatní na tomto seznamu, takže budete potřebovat kompas a tužku, kousek papíru nebo karty, pravítko, nůžky a úhloměr. Nejprve nakreslete kruh na kousek karty a ujistěte se, že znáte poloměr. Dále rozdělte kruh na 12 stejných sektorů (jako plátky pizzy) a vyberte jeden z nich, aby se znovu rozdělil na dvě stejné části, čímž získáte celkem 13 sektorů.
Vystřihněte kruh a vyřízněte sektory. Uspořádejte sektory do tvaru obdélníku s rovnou hranou menších sektorů v obou krátký okraj a tenký konec jednoho kusu úhledně zasunutý mezi zakřivené konce dvou sousedních kousky. Výška obdélníku je poloměr kruhu a šířka je polovina obvodu původního kruhu.
Protože obvod = 2 × π × poloměr, máme:
\ text {šířka} = π × \ text {poloměr}
A můžete odhadnout pí pomocí:
π = \ frac {\ text {width}} {\ text {radius}}
Vše, co musíte udělat, je změřit dlouhou stranu obdélníku a vydělit poloměrem, abyste získali aproximaci pro pí.
Archimédova polygonová aproximace pro Pi
Archimedes použil jednoduchou, ale výkonnou metodu k aproximaci hodnoty pí, v podstatě obklopil kruh se dvěma polygony, jeden těsně uvnitř a druhý těsně mimo linii kruhu. Obvod kruhu musí být mezi obvodem těchto dvou polygonů a na základě toho můžete vypočítat pí. Aproximace je čím dál tím lepší, když do polygonů přidáte více stran (příklad viz Zdroje).
K tomu můžete použít jednu ze dvou metod. Nejjednodušeji můžete nakreslit mnohoúhelníky pro sebe a buď použít trigonometrii k nalezení nebo doslova změřit obvod, poté rozdělit výsledek o 2_r_ (tj. 2násobek poloměru kruhu) k nalezení hranic pro pi (přičemž vnitřní tvar dává minimum a vnější dává maximum.
Případně použijte jednoduchý vzorec založený na kružnici o průměru 1 (tj. r = 1/2):
π = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) n
Kde θ je úhel ve středu jedné z trojúhelníkových částí tvaru a n je počet stran. Pokud tedy používáte 20stranný mnohoúhelník, jednoduše jej vydělíte 360 ° (celý kruh) 20, abyste jej našli θ.
Buffonova jehla
Jedna z nejgeniálnějších metod pro odhad pí se nazývá Buffonova jehla, pojmenovaná po francouzském filozofovi Georgesovi-Louisu Leclercovi, Comte de Buffonovi, který tento přístup objevil. Získejte kousek papíru a nakreslete na něj sadu rovnoměrně rozmístěných rovnoběžných čar se vzdáleností mezi nimi, kterou zavoláme d, pak na kousek papíru upusťte mnoho tyčinek. Klíčem k tomuto přístupu je použití hole s délkou l to je menší než vzdálenost mezi čarami, takže pokud používáte zápalky, měli byste se ujistit, že oddělujete čáry o více než délku zápalky.
Pi můžete odhadnout na základě:
π = \ frac {2ls} {cd}
kde l a d jsou definovány výše, s je celkový počet tyčinek, které jste upustili na papír, a C je počet tyčinek, které překračují čáru. Jedná se o statistický přístup k hledání odpovědi, takže čím více tyčinek odhodíte, tím lepší odhad získáte. Je to vlastně forma simulace Monte Carlo pro zjištění hodnoty pí.
Pokud to vypadá jako hodně práce (a vyčištění!), Existuje online verze, kterou můžete použít k simulaci experimentu (viz Zdroje).