Vektory a skaláry: Co jsou zač a proč jsou důležité?

V každodenním životě většina lidí používá tyto výrazyRychlostarychlostzaměnitelně, ale pro fyziky jsou příklady dvou velmi odlišných typů kvantity.

Problémy s mechanikou se zabývají pohybem objektů, a přestože můžete pohyb popsat pouze z hlediska rychlosti, konkrétní směr, kterým se něco děje, je často kriticky důležitý.

Podobně mohou síly působící na objekty pocházet z mnoha různých směrů - pomyslete například na protichůdné tahy v přetahování lanem - takže fyzici popisující takové situace musí použít veličiny, které popisují jak „velikost“ věcí, jako jsou síly, tak směr, kterým se pohybují akt. Tato množství se nazývajívektory​.

TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)

Vektor má jak velikost, tak specifický směr, ale skalární veličina má pouze velikost.

Klíčový rozdíl mezi vektory a skaláry spočívá v tom, že velikost vektoru to úplně nevystihuje; také musí být stanoven směr.

Směr vektoru lze určit mnoha způsoby, ať už kladnými nebo zápornými znaménky před ním, vyjádřením ve formě složek (skalární hodnoty vedle příslušných

Naproti tomu skalární je pouze velikost vektoru bez jakékoli další notace nebo poskytnuté informace - například rychlost je skalární ekvivalent vektoru rychlosti. Z matematického hlediska je to absolutní hodnota vektoru.

Mnoho veličin, jako je energie, tlak, délka, hmotnost, výkon a teplota, jsou však příklady skalárů, které nejsou jen velikostí odpovídajícího vektoru. Nepotřebujete znát například „směr“ hmoty, abyste o něm měli úplnou představu jako o fyzické vlastnosti.

Existuje několik neintuitivních faktů, kterým můžete porozumět, když víte rozdíl mezi skalárem a vektor, například myšlenka, že něco může mít konstantní rychlost, ale neustále se měnící rychlost. Představte si auto, které jede konstantní rychlostí 10 km / h, ale v kruhu. Protože směr vektoru je součástí jeho definice, vektor rychlosti vozu je vždy v tomto příkladu se mění, navzdory skutečnosti, že velikost vektoru (tj. jeho rychlost) je konstantní.

Existuje mnoho příkladů vektorů ve fyzice, ale některé z nejznámějších příkladů jsou síla, hybnost, zrychlení a rychlost, které všechny se v klasické fyzice vyznačují silně. Vektor rychlosti lze zobrazit jako 25 m / s na východ, −8 km / hvy-směr,​proti​= 5 m / si+ 10 m / sjnebo 10 m / s ve směru 50 stupňů odX-osa.

Vektory hybnosti jsou dalším příkladem, pomocí kterého můžete vidět, jak se velikost a směr vektoru zobrazují ve fyzice. Ty fungují stejně jako příklady rychlostních vektorů, s 50 kg m / s na západ, −12 km / hvzsměr,​p​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / ska 100 kg m / s 30 stupňů odX-osy jsou příklady toho, jak by mohly být zobrazeny. Stejné základní body platí pro zobrazení vektorů zrychlení, přičemž jediným rozdílem je jednotka m / s² a běžně používaný symbol pro vektor,​A​​.

Síla je posledním z těchto příkladů vektorových výrazů, a přestože existuje mnoho podobností, pomocí válcových souřadnic (r​, ​θ​, ​z) namísto kartézských souřadnic mohou pomoci ukázat další způsoby, jak mohou být zobrazeny. Můžete například napsat sílu jako​F​= 10 N.r+ 35 N.𝛉, pro sílu se složkami v radiálním směru a v azimutálním směru, nebo popište gravitační sílu na 1 kg objektu na Zemi jako 10 N v -rsměru (tj. směrem ke středu planety).

V diagramech se vektory zobrazují pomocí šipek, přičemž velikost vektoru představuje délka šipky a jeho směr představuje směr, ve kterém šipka ukazuje. Například větší šipka ukazuje, že síla je větší (tj. Více newtonů nebo větší velikosti) než jiná síla.

Pro vektor, který zobrazuje pohyb, jako je hybnost nebo vektor rychlosti, jenulový vektor(tj. vektor představující žádnou rychlost nebo hybnost) se zobrazuje pomocí jediné tečky.

Stojí za zmínku, že protože délka šipky představuje velikost vektoru a jeho orientace představuje směr vektoru. Při vytváření vektorového diagramu je užitečné se snažit být přiměřeně přesný. Nemusí to být dokonalé, ale pokud vektor​A​je dvakrát větší než vektor​b​, šipka by měla být zhruba dvakrát tak dlouhá.

Sčítání vektorů a odčítání vektorů jsou o něco složitější než přidávání a odečítání skalárů, ale pojmy můžete snadno vyzvednout. Můžete použít dva hlavní přístupy a každý z nich má potenciální využití v závislosti na konkrétním problému, který řešíte.

První a nejjednodušší použít, když jste dostali dva vektory ve formě komponent, je jednoduše přidat odpovídající komponenty stejným způsobem, jako byste přidali běžné skaláry. Například pokud potřebujete přidat dvě síly​F​​₁ = 5 N.i+ 10 N.ja​F​​₂ = 6 N.i+ 15 N.j+ 10 N.k, přidali bysteikomponenty, pakjkomponenty a nakoneckkomponenty takto:

Odčítání vektorů funguje přesně stejným způsobem, až na to, že odečtete veličiny místo toho, abyste je přidali. Sčítání vektorů je také komutativní, jako běžné sčítání se skutečnými čísly, takže​A ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​A​​.

Sčítání vektorů můžete provádět také pomocí šipkových diagramů tak, že umístíte vektorové šipky od hlavy k ocasu a poté kreslení nové vektorové šipky pro součet vektorů spojujících ocas první šipky s hlavou šipky druhý.

Pokud máte jednoduchý vektorový doplněk s jedním vX- směr a další vy-směr, diagram tvoří pravoúhlý trojúhelník. Sčítání vektoru můžete dokončit a určit velikost a směr výsledného vektoru „řešením“ trojúhelníku pomocí trigonometrie a Pythagorovy věty.

Násobení vektorů je o něco komplikovanější než skalární násobení pro reálná čísla, ale dvě hlavní formy násobení jsou bodový součin a křížový součin. Tečkový součin se nazývá skalární součin a je definován jako:

nebo

kdeθje úhel mezi dvěma vektory a dolní indexy 1, 2 a 3 představují první, druhou a třetí složku vektoru. Výsledek tečkového součinu je skalární.

Křížový produkt je definován jako:

s čárkami oddělujícími komponenty výsledku v různých směrech.