Jarní konstanta (Hookeův zákon): Co to je a jak vypočítat (s jednotkami a vzorcem)

Když stlačíte nebo roztáhnete pružinu - nebo jakýkoli elastický materiál - budete instinktivně vědět, co bude dělat když uvolníte sílu, kterou aplikujete: Pružina nebo materiál se vrátí do svého originálu délka.

Je to, jako by na jaře byla „obnovovací“ síla, která zajistí, že se vrátí do svého přirozeného, ​​nekomprimovaného a neroztaženého stavu poté, co uvolníte napětí, které na materiál působíte. Toto intuitivní porozumění - že se elastický materiál vrací do své rovnovážné polohy po odstranění jakékoli aplikované síly - kvantifikuje mnohem přesnějiHookeův zákon​.

Hookeův zákon je pojmenován podle jeho tvůrce, britského fyzika Roberta Hooke, který v roce 1678 uvedl, že „rozšíření je úměrné platnost." Zákon v zásadě popisuje lineární vztah mezi prodloužením pružiny a obnovovací silou, kterou vyvolává v jaro; jinými slovy, natáhnout nebo stlačit pružinu dvakrát tolik vyžaduje dvojnásobnou sílu.

Zákon, i když je velmi užitečný v mnoha elastických materiálech, nazývaných „lineární elastické“ nebo „hookeanské“ materiály, se nevztahuje nakaždýsituace a je technicky aproximací.

Stejně jako mnoho aproximací ve fyzice je však Hookeův zákon užitečný v ideálních pružinách a mnoha elastických materiálech až do „limitu proporcionality“. Theklíčovou konstantou proporcionality v zákoně je jarní konstanta, a naučit se, co vám to říká, a naučit se, jak to vypočítat, je zásadní pro uvedení Hookeova zákona do praxe.

Jarní konstanta je klíčovou součástí Hookeova zákona, takže abyste pochopili konstantu, musíte nejprve vědět, co je Hookeův zákon a co říká. Dobrou zprávou je, že jde o jednoduchý zákon, který popisuje lineární vztah a má podobu základní lineární rovnice. Vzorec Hookova zákona konkrétně souvisí se změnou prodloužení pružiny,Xk obnovovací síle,F, generované v něm:

Extra termín,k, je jarní konstanta. Hodnota této konstanty závisí na vlastnostech konkrétní pružiny a v případě potřeby ji lze přímo odvodit z vlastností pružiny. V mnoha případech - zejména na úvodních hodinách fyziky - vám však bude jednoduše přidělena hodnota jarní konstanty, abyste mohli pokračovat a vyřešit daný problém. Je také možné přímo vypočítat konstantu pružiny pomocí Hookeova zákona, za předpokladu, že znáte prodloužení a velikost síly.

„Velikost“ vztahu mezi prodloužením a vratnou silou pružiny je zapouzdřena v hodnotě konstanty pružiny,k. Konstanta pružiny ukazuje, kolik síly je potřeba ke stlačení nebo prodloužení pružiny (nebo kusu elastického materiálu) o danou vzdálenost. Pokud přemýšlíte o tom, co to znamená z hlediska jednotek, nebo zkontrolujete Hookův zákon, můžete vidět, že konstanta pružiny má jednotky síly na vzdálenost, takže v jednotkách SI, newtonech / metr.

Hodnota konstanty pružiny odpovídá vlastnostem konkrétní uvažované pružiny (nebo jiného typu pružného předmětu). Vyšší konstanta pružiny znamená tužší pružinu, která se těžší protahuje (protože pro daný posunX, výsledná sílaFbude vyšší), zatímco volnější pružina, která se snáze roztáhne, bude mít nižší pružinovou konstantu. Stručně řečeno, pružinová konstanta charakterizuje elastické vlastnosti dotyčné pružiny.

Elastická potenciální energie je dalším důležitým konceptem souvisejícím s Hookeovým zákonem a charakterizuje energii uložen na jaře, když je vysunutý nebo stlačený, což mu umožňuje uvolnit obnovovací sílu při uvolnění konec. Stlačením nebo prodloužením pružiny se energie, kterou předáváte, transformuje na pružný potenciál, a kdykoli vy uvolněte jej, energie se přemění na kinetickou energii, když se pružina vrátí do své rovnovážné polohy.

V Hookeově zákoně si bezpochyby všimnete znaménka minus. Jako vždy je volba „pozitivního“ směru vždy nakonec libovolná (můžete nastavit osy tak, aby běžely jakýmkoli směrem, který a fyzika funguje přesně stejným způsobem), ale v tomto případě je záporné znaménko připomínkou, že síla je obnova platnost. „Obnovovací síla“ znamená, že působením síly je vrácení pružiny do její rovnovážné polohy.

Pokud nazýváte rovnovážnou polohu konce pružiny (tj. Její „přirozenou“ polohu bez použití sil)X= 0, pak prodloužení pružiny povede ke kladnému výsledkuXa síla bude působit v negativním směru (tj. zpět směrem kX= 0). Na druhou stranu komprese odpovídá záporné hodnotě proX, a poté síla působí pozitivním směrem, opět směrem kX= 0. Bez ohledu na směr posunutí pružiny záporné znaménko popisuje sílu, která ji pohybuje zpět v opačném směru.

Jaro se samozřejmě nemusí pohybovatXsměr (stejně dobře byste mohli napsat Hookeův zákon synebozna jeho místo), ale ve většině případů jsou problémy spojené se zákonem v jedné dimenzi, a tomu se říkáXpro pohodlí.

Koncept elastické potenciální energie, představený vedle jarní konstanty dříve v článku, je velmi užitečný, pokud se chcete naučit počítatkpomocí dalších údajů. Rovnice pro elastickou potenciální energii souvisí s posunem,Xa jarní konstanta,k, na pružný potenciálPE​_el, a má stejnou základní formu jako rovnice pro kinetickou energii:

Jako forma energie jsou jednotkami elastické potenciální energie jouly (J).

Elastická potenciální energie se rovná odvedené práci (ignorování ztrát tepla nebo jiného plýtvání), a můžete snadno to spočítejte na základě vzdálenosti, kterou pružina byla natažena, pokud znáte konstantu pružiny pro jaro. Podobně můžete tuto rovnici znovu uspořádat, abyste našli jarní konstantu, pokud znáte provedenou práci (odŽ​ = ​PE​_el) při roztahování pružiny a o kolik se pružina prodloužila.

Existují dva jednoduché přístupy, které můžete použít k výpočtu konstanty pružiny pomocí Hookova zákona spolu s některými údaji o síle obnovovací (nebo aplikované) síly a posunutí pružiny z její rovnovážné polohy nebo pomocí rovnice pružné potenciální energie spolu s čísly pro práci provedenou při prodloužení pružiny a posunutí pružiny jaro.

Použití Hookeova zákona je nejjednodušší způsob, jak zjistit hodnotu jarní konstanty, a můžete dokonce získejte data sami pomocí jednoduchého nastavení, kdy zavěsíte známou hmotu (silou její hmotnosti dánaF​ = ​mg) z pružiny a zaznamenejte prodloužení pružiny. Ignorování znaménka mínus v Hookeově zákoně (protože směr nezáleží na výpočtu hodnoty konstanty pružiny) a dělení posunutím,X, dává:

Použití vzorce pružné potenciální energie je podobně přímočarý proces, který však není vhodný pro jednoduchý experiment. Pokud však znáte elastickou potenciální energii a posun, můžete ji vypočítat pomocí:

V každém případě skončíte s hodnotou s jednotkami N / m.

Pružina s přidaným 6 N závažím se táhne o 30 cm vzhledem k její rovnovážné poloze. Co je to jarní konstantakna jaro?

Řešení tohoto problému je snadné, pokud si myslíte, že jste dostali informace, které jste dostali, a před výpočtem převeďte posunutí na metry. Hmotnost 6 N je číslo v newtonech, takže okamžitě byste měli vědět, že jde o sílu, a vzdálenost, kterou pružina táhne od své rovnovážné polohy, je posunutí,X. Otázka vám to říkáF= 6 N aX= 0,3 m, což znamená, že pružinovou konstantu můžete vypočítat takto:

Pro další příklad si představte, že víte, že 50 J pružné potenciální energie je drženo v pružině, která byla stlačena 0,5 m od její rovnovážné polohy. Jaká je v tomto případě jarní konstanta? Přístup opět spočívá v identifikaci informací, které máte, a vložení hodnot do rovnice. Tady to vidítePE​_el = 50 J aX= 0,5 m. Takto uspořádaná rovnice elastické potenciální energie dává:

Vůz o hmotnosti 1 800 kg má systém odpružení, jehož tlak nesmí překročit 0,1 m. Jakou pružinovou konstantu musí mít zavěšení?

Tento problém se může zdát odlišný od předchozích příkladů, ale nakonec proces výpočtu konstanty pružiny,k, je úplně stejný. Jediným dalším krokem je převod hmotnosti vozu na ahmotnost(tj. gravitační síla působící na hmotu) na každé kolo. Víte, že síla způsobená hmotností vozu je dána vztahemF​ = ​mg, kdeG= 9,81 m / s², gravitační zrychlení na Zemi, takže můžete upravit Hookeův zákon takto:

Avšak pouze jedna čtvrtina z celkové hmotnosti vozu spočívá na jakémkoli kole, takže hmotnost na pružinu je 1800 kg / 4 = 450 kg.

Nyní jednoduše musíte zadat známé hodnoty a vyřešit najít potřebnou sílu pružin, přičemž si všimněte, že maximální tlak 0,1 m je hodnota proXbudete muset použít:

To lze také vyjádřit jako 44,145 kN / m, kde kN znamená „kilonewton“ nebo „tisíce newtonů“.

Je důležité znovu zdůraznit, že se Hookeův zákon nevztahujekaždýsituaci a abyste ji mohli efektivně využívat, musíte si pamatovat omezení zákona. Jarní konstanta,k, je gradient přímkyčástgrafuFvs.X; jinými slovy síla aplikovaná vs. posunutí z rovnovážné polohy.

Po „limitu proporcionality“ u dotyčného materiálu však vztah již není přímočarý a Hookeův zákon přestává platit. Podobně, když materiál dosáhne své „meze pružnosti“, nebude reagovat jako pružina a místo toho bude trvale deformován.

A konečně, Hookeův zákon předpokládá „ideální jaro“. Součástí této definice je, že odezva pružiny je lineární, ale také se předpokládá, že je bezhmotná a bez tření.

Tato poslední dvě omezení jsou zcela nereálná, ale pomáhají vám vyhnout se komplikacím vyplývajícím z gravitační síly působící na samotnou pružinu a ztráty energie třením. To znamená, že Hookeův zákon bude vždy spíše přibližný než přesný - i v mezích proporcionality - ale odchylky obvykle nezpůsobí problém, pokud nepotřebujete velmi přesné odpovědi.