Maxwell-Boltzmann Distribuce: Funkce, odvození a příklady

Popisovat, co se děje s velmi malými částicemi, je výzvou ve fyzice. Je nejen obtížné pracovat s jejich velikostí, ale ve většině každodenních aplikací se nejedná o jedinou částici, ale bezpočet mnoha z nich vzájemně interaguje.

V pevné látce se částice nepohybují kolem sebe, ale místo toho jsou do značné míry na místě. Pevné látky se mohou rozpínat a smršťovat při teplotních výkyvech a v určitých situacích někdy dokonce procházejí zajímavými změnami krystalických struktur.

V kapalinách se částice mohou volně pohybovat kolem sebe. Vědci však nemají tendenci studovat tekutiny tím, že se snaží sledovat, co jednotlivé molekuly dělají. Místo toho se zabývají většími vlastnostmi celku, jako je viskozita, hustota a tlak.

Stejně jako u kapalin se i částice v plynu mohou volně pohybovat kolem sebe. Ve skutečnosti mohou plyny procházet dramatickými změnami objemu kvůli rozdílům v teplotě a tlaku.

Opět nemá smysl studovat plyn sledováním toho, co dělá každá jednotlivá molekula plynu, a to ani při tepelné rovnováze. Nebylo by to proveditelné, zvlášť když si uvědomíte, že i v prostoru prázdné sklenice na pití je jich kolem 10

Typ plynu, který je nejsnadnější analyzovat, je ideální plyn. Je ideální, protože umožňuje určitá zjednodušení, díky nimž je fyzika mnohem snáze pochopitelná. Mnoho plynů při standardních teplotách a tlacích působí přibližně jako ideální plyny, díky čemuž je jejich studium také užitečné.

V ideálním plynu se předpokládá, že samotné molekuly plynu kolidují v dokonale elastických srážkách, takže se nemusíte bát, že v důsledku těchto srážek dojde ke změně formy. Rovněž se předpokládá, že molekuly jsou od sebe velmi vzdálené, což v podstatě znamená nemusíte se bát, že by spolu bojovali o vesmír a mohli byste s nimi zacházet jako s pointou částice. Ideální plyny také nejsou příliš horké a příliš chladné, takže si nemusíte dělat starosti s efekty, jako je ionizace nebo kvantové efekty.

Odtud mohou být plynné částice zpracovávány jako malé bodové částice odrážející se kolem v jejich nádobě. Ale i při tomto zjednodušení stále není možné pochopit plyny sledováním toho, co jednotlivé částice dělají. Umožňuje však vědcům vyvinout matematické modely, které popisují vztahy mezi makroskopickými veličinami.

Zákon ideálního plynu souvisí s tlakem, objemem a teplotou ideálního plynu. TlakPplynu je síla na jednotku plochy, kterou vyvíjí na stěny nádoby, ve které je. Jednotkou tlaku SI je pascal (Pa), kde 1Pa = 1N / m². HlasitostPROTIplynu je množství prostoru, které zabírá v SI jednotkách m³. A teplotaTplynu je míra průměrné kinetické energie na molekulu, měřená v jednotkách SI Kelvina.

Rovnici popisující zákon ideálního plynu lze napsat následovně:

KdeNje počet molekul nebo počet částic a Boltzmannova konstantak​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

Ekvivalentní formulace tohoto zákona je:

Kdenje počet molů a univerzální plynová konstantaR= 8,3 145 J / molK.

Tyto dva výrazy jsou ekvivalentní. Který z nich se rozhodnete použít, jednoduše závisí na tom, zda měříte počet molekul v molech nebo v počtu molekul.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekuly, což je Avogadro číslo.

Jakmile se plyn přiblíží jako ideální, můžete provést další zjednodušení. To znamená, že místo zvážení přesné fyziky každé molekuly - což by nebylo možné kvůli jejich naprostému počtu - se s nimi zachází, jako by jejich pohyby byly náhodné. Z tohoto důvodu lze statistiky použít k pochopení toho, o co jde.

V 19. století vyvinuli fyzici James Clerk Maxwell a Ludwig Boltzmann kinetickou teorii plynů na základě popsaných zjednodušení.

Klasicky každá molekula v plynu může mít kinetickou energii, která je jí přiřazena ve formě:

Ne každá molekula v plynu však má stejnou kinetickou energii, protože neustále koliduje. Přesné rozdělení kinetických energií molekul je dáno Maxwell-Boltzmannovým rozdělením.

Statistiky Maxwell-Boltzmann popisují distribuci molekul ideálního plynu v různých energetických stavech. Funkce, která popisuje tuto distribuci, je následující:

KdeAje normalizační konstanta,Eje energie,kje Boltzmannova konstanta aTje teplota.

Další předpoklady učiněné k získání této funkce jsou, že vzhledem k jejich povaze bodových částic neexistuje žádné omezení, kolik částic může daný stav obsadit. Rovněž distribuce částic mezi energetickými stavy nutně vyžaduje nejpravděpodobnější distribuci (s s větším počtem částic se zvyšuje pravděpodobnost, že se plyn nebude blížit této distribuci malý). A konečně jsou všechny energetické stavy stejně pravděpodobné.

Tyto statistiky fungují, protože je extrémně nepravděpodobné, že by každá daná částice mohla skončit s energií výrazně nad průměrem. Pokud by se to stalo, zůstalo by mnohem méně způsobů distribuce zbytku celkové energie. Spadá to do hry čísel - protože existuje mnohem více energetických stavů, které nemají částice vysoko nad průměrem, je pravděpodobnost, že systém bude v takovém stavu, mizivě malá.

Energie nižší než průměr jsou však pravděpodobnější, opět kvůli tomu, jak se pravděpodobnosti odehrávají. Protože veškerý pohyb je považován za náhodný a existuje větší počet způsobů, jak může částice skončit ve stavu s nízkou energií, jsou tyto stavy upřednostňovány.

Maxwell-Boltzmannova distribuce je distribuce rychlostí částic ideálního plynu. Tuto funkci rozdělení rychlosti lze odvodit ze statistiky Maxwell-Boltzmann a použít ji k odvození vztahů mezi tlakem, objemem a teplotou.

Rozdělení rychlostiprotije dáno následujícím vzorcem:

Kdemje hmotnost molekuly.

Přidružená distribuční křivka s funkcí rozdělení rychlosti nay-osa a molekulární rychlost naX-osa, vypadá zhruba jako asymetrická normální křivka s delším ocasem vpravo. Má nejvyšší hodnotu při nejpravděpodobnější rychlostiproti_pa průměrná rychlost daná vztahem:

Všimněte si také, jak má dlouhý úzký ocas. Křivka se při různých teplotách mírně mění, přičemž dlouhý ocas je při vyšších teplotách „tlustší“.

Použijte vztah:

KdeE_intje vnitřní energie,KE​_​prům​ je průměrná kinetická energie na molekulu z distribuce Maxwell-Boltzmann. Spolu se zákonem ideálního plynu je možné získat vztah mezi tlakem a objemem z hlediska molekulárního pohybu: