Implicitní diferenciace je technika, která se používá k určení derivace funkce ve tvaru y = f (x).
Abychom se naučili používat implicitní diferenciaci, můžeme použít metodu na jednoduchém příkladu a poté prozkoumat některé složitější případy.
Implicitní diferenciace je jen diferenciace
I když to zní komplikovaněji, implicitní diferenciace využívá stejnou matematiku a dovednosti jako základní diferenciace. Je však důležité si uvědomit, že naše závislá proměnná se nyní zobrazuje ve samotné funkci.
Vezměte jednoduchou rovnici, například xy = 1. Existují dva způsoby, jak najít derivaci y s ohledem na Xnebo dy / dx. Nejprve můžeme jednoduše vyřešit y v rovnici a použít pravidlo síly pro derivace. To by přineslo: y = 1 / x. Použití pravidla síly by tedy odhalilo, že dy / dx = -1 / x2.
Můžeme také udělat tento problém pomocí implicitní diferenciace. Naštěstí odpověď již známe (měla by být stejná bez ohledu na to, jak ji vypočítáme), abychom mohli zkontrolovat naši práci!
Nejprve použijte derivaci na obě strany rovnice xy = 1. Potom d / dx (xy) = d / dx (1); jasně je nyní pravá strana rovna 0, ale levá strana vyžaduje pravidlo řetězu. Je to proto, že bereme derivaci naší funkce,
y, zatímco se násobí na další faktor X. Výpočet: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Budeme používat primární notaci k označení derivace s ohledem na X.Přepsáním naší rovnice se získá výtěžek: y + xy '= 0. Je čas to vyřešit y ' v naší rovnici! Je zřejmé, že y '= -y / x. Ale s využitím původních informací víme, že y = 1 / x, takže to můžeme dosadit zpět. Jakmile to uděláme, vidíme, že y '= -1 / x2, stejně jako jsme to našli dříve.
Implicitní diferenciace k určení derivace hříchu (xy)
K určení derivace y = sin (xy) použijeme implicitní diferenciaci zapamatováním, že (d / dx) y = y '.
Nejprve použijte derivaci na obě strany rovnice: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Levá strana rovnice je jasně y ', což je to, co budeme muset vyřešit, ale pravá strana bude vyžadovat nějakou práci; konkrétně pravidlo řetězu a pravidlo produktu. Nejprve je třeba použít pravidlo řetězu na sin (xy) a poté pravidlo produktu pro argument xy. Naštěstí jsme toto pravidlo produktu již vypočítali.
Zjednodušení dále dává: y '= cos (xy) (y + xy').
Je zřejmé, že tuto rovnici je třeba vyřešit y ' za účelem určení jak y ' je spojen s X a y.
Izolovat všechny výrazy pomocí y ' na jedné straně: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Pak vyfiltrovat y ' získat: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Nyní vidíme, že y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Je nutné další zjednodušení, ale protože je naše funkce definována rekurzivně, připojení y = sin (xy) pravděpodobně nepřinese uspokojivé řešení. V tomto případě může být užitečných více informací nebo složitější metoda pro vykreslení těchto rovnic.
Obecné kroky pro implicitní diferenciaci
Nejprve si pamatujte, že implicitní diferenciace závisí na tom, že jedna z proměnných je funkcí druhé. Běžně vidíme funkce jako y = f (x), ale dalo by se napsat funkci x = f (y). Při řešení těchto problémů buďte opatrní, abyste zjistili, která proměnná závisí na druhé.
Dále nezapomeňte pečlivě použít odvozená pravidla. Implicitní rozlišení bude velmi často vyžadovat pravidlo řetězu, pravidlo produktu a pravidlo podílu. Správné použití těchto metod bude zásadní pro určení konečné odpovědi.
Nakonec vyřešte požadovanou derivaci tak, že ji izolováte a výrazy co nejvíce zjednodušíte.