Преди да обсъдим центъра на тежестта, нека приемем няколко параметъра. Първо, че имате работа с обект, който е на повърхността на Земята, а не някъде в космоса. И две, че обектът е сравнително малък - да речем, не космически кораб, който е паркиран на Земята и чака да излети. След като всички тези извънземни влияния бъдат елиминирани, вие сте в добра позиция да изчислите центъра на тежестта за геометрични обекти с помощта на сравнително проста формула - и всъщност, поради току-що зададените условия, ще използвате същата формула за намиране на центъра на тежестта, както и за намиране на център на масата.
Как да пиша за Центъра на тежестта
Центърът на тежестта в двумерна равнина обикновено се обозначава с координатите (xcg, уcg) или понякога от променливитехиус лента над тях. Също така понятието "център на тежестта" понякога се съкращава на cg.
Как да изчислим CG на триъгълник
В учебника ви по математика или физика често има диаграми за определяне на центъра на баланса на определени фигури. Но за някои често срещани геометрични фигури можете да използвате подходящата формула на центъра на тежестта, за да намерите центъра на тежестта на тази форма.
За триъгълниците центърът на тежестта се намира в точката, където и трите медиани се пресичат. Ако започнете от един връх на триъгълника и след това нарисувате права линия до средата на другата страна, това е една медиана. Направете същото за другите два върха и точката, в която и трите медиани се пресичат, е центърът на тежестта на триъгълника.
И разбира се, има формула за това. Ако координатите на центъра на тежестта на триъгълника са (xcg, уcg), вие намирате координатите му по този начин:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Където (x1, у1), (х2, у2) и (x3, у3) са координатите на трите върха на триъгълника. Можете да изберете кой връх да бъде присвоен на кой номер.
Формула на центъра на тежестта за правоъгълник
Забелязахте ли, че за да намерите центъра на тежестта на триъгълник, просто осреднявате стойността на х-координатите, след това осреднете стойността на y-координатите и използвайте двата резултата като координати за вашия център на тежестта?
За да намерите центъра на тежестта за правоъгълник, правите абсолютно същото. Но за да улесните изчисленията си, приемете, че правоъгълникът е ориентиран право към декартово координатна равнина (така че не е зададена под ъгъл) и че долният му ляв връх е в началото на графика. В този случай, за да намерите (xcg, уcg) за правоъгълник всичко, което трябва да изчислите, е:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {височина}} {2}
Ако не искате да преместите правоъгълника си в началото на координатната равнина или ако по някаква причина той не е точно квадрат към координатни оси, можете да се изправите срещу тази малко по-страшна на вид, но все пак ефективна формула, за да осредните всичките си координати x, за да намерите стойността от хcgи осреднете всички y-координати, за да намерите стойността на ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Центърът на гравитационното уравнение
Какво ще стане, ако трябва да изчислите центъра на тежестта за форма, която отговаря на всички предположения, споменати за първи път (по същество не се опитвате да правите буквална ракетна наука чрез намиране на центъра на тежестта за обектите в космоса), но той не попада в нито една от категориите, които току-що бяха споменати, нито в диаграмите в задната част на вашия учебник? След това можете да разделите вашата форма на по-познати фигури и да използвате следните уравнения, за да намерите техния колективен център на тежестта:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Или казано по друг начин, xcg равна на площта на секция 1, умножена по нейното местоположение по оста x, добавена към площта на секция 2 пъти по нейното местоположение и така нататък, докато не съберете площта по местоположение на всички секции; след това разделете цялата тази сума на общата площ на всички раздели. След това направете същото за y.
В: Как да намеря площта на всеки раздел?Разделянето на вашата сложна или неправилна форма на по-познати полигони ви позволява да използвате стандартизирани формули, за да намерите площ. Например, ако сте разделили тази форма на правоъгълни парчета, можете да използвате формулата дължина × ширина, за да намерите площта на всяко парче.
В: Какво е "местоположението" на всеки раздел?Местоположението на всяка секция е подходящата координата от центъра на тежестта на тази секция. Така че, ако искате y2 (местоположението за сегмент 2), всъщност трябва да предоставите координатата y за центъра на тежестта на този сегмент. Отново, това е причината да разделяте обект със странна форма на по-познати форми, защото можете да използвате вече обсъдени формули за намиране на центъра на тежестта на всяка фигура и след това извличане на съответната координата (с).
В: Къде отива моята форма в координатната равнина?Можете да изберете къде вашата форма да се намира на координатната равнина - просто имайте предвид, че центърът на тежестта на вашия отговор ще бъде спрямо същата референтна точка. Най-лесно е да поставите обекта си в първия квадрант на вашата графика, като долният му ръб е срещу оста x и левия край срещу оста y, така че всички x- и y-стойности да са положителни, но и достатъчно малки, за да бъдат управляем.
Трикове за намиране на центъра на тежестта
Ако имате работа с един обект, понякога интуицията и малко логика са всичко, което трябва да намерите центъра на тежестта му. Например, ако обмисляте плосък диск, центърът на тежестта ще бъде центърът на диска. В цилиндър това е средната точка на оста на цилиндъра. За правоъгълник (или квадрат) това е точката, в която диагоналните линии се събират.
Може би сте забелязали модел тук: Ако въпросният обект има линия на симетрия, центърът на тежестта ще бъде на тази линия. И ако има множество оси на симетрия, центърът на тежестта ще бъде там, където тези оси се пресичат.
И накрая, ако се опитвате да намерите центъра на тежестта за един наистина сложен обект, имате две възможности: Или извадете най-добрите си интеграли за смятане (вж. Ресурси за троен интеграл, който представлява центъра на тежестта за неравномерна маса) или въведете данните си в специално изграден център на тежестта калкулатор. (Вижте Ресурси за пример за калкулатор на център на тежестта за радиоуправляеми самолети.)
