Виждали ли сте някога от онези птици играчки, които са в състояние да балансират на върха на пръста си с клюна си, без да се преобръщат, като по магия? Не магията позволява на птицата да балансира изобщо, а простата физика, свързана с центъра на масата.
Разбирането на физиката зад центъра на масата ви позволява не само да разберете запазването на инерцията и други свързани с това физика, но също така може да информира стабилността и динамиката в спортовете, които играете, както и да ви позволи да извършите творческо балансиране действа.
Определение на центъра на масата
Обектцентър на масата, понякога наричан още център на тежестта, може да се разглежда като точка, в която общата маса на обект или система може да се третира като точкова маса. В определени ситуации външните сили могат да се третират така, сякаш действат върху центъра на масата на обекта.
За играчката птица, балансираща на върха на пръста ви, центърът на масата е в клюна си. Отначало това може да изглежда погрешно, поради което актът на балансиране изглежда магически. Всъщност, за птица, седнала на клон, центърът на масата й е някъде в тялото. Но играчката за балансираща птица често има претеглени крила, които се простират навън и напред, което я кара да балансира по различен начин.
Центърът на масата може да бъде определен за отделен обект - например балансиращата птица - или може да бъде изчислен за система от няколко обекта, както ще видите в следващ раздел.
Център на масата за един обект
Винаги ще има една точка върху твърдо тяло, която е местоположението на центъра на масата на това тяло. Положението на центъра на масата на даден обект зависи от разпределението на масата.
Ако даден обект е с еднаква плътност, неговият център на масата е по-лесен за определяне. Например в кръг с еднаква плътност центърът на масата е центърът на кръга. (Това обаче не би било така, ако кръгът беше по-плътен от едната страна от другата).
Всъщност центърът на масата винаги ще бъде в геометричния център на обекта, когато плътността е еднаква. (Този геометричен център се наричацентроид.)
Ако плътността не е еднородна, има и други начини за определяне на центъра на масата. Някои от тези методи включват използването на смятане, което е извън обхвата на тази статия. Но един лесен начин да определите центъра на масата на твърд обект е просто да се опитате да го балансирате на върха на пръста си. Центърът на масата ще бъде в точката на балансиране.
Друг метод, полезен за равнинни обекти, е както следва:
- Окачете формата от една крайна точка заедно с отвес.
- Начертайте линия върху фигурата, която се подрежда с отвеса.
- Окачете формата от различна точка на ръба заедно с отвес.
- Начертайте линия върху фигурата, която се подрежда с новата отвесна линия.
- Двете начертани линии трябва да се пресичат в една точка.
- Тази уникална пресечна точка е местоположението на центъра на масата.
За някои обекти обаче е възможно точката на баланса да бъде извън границите на самия обект. Помислете например за пръстен. Центърът на масата за форма на пръстен е в центъра, където изобщо не съществува част от пръстена.
Център на масата на система от частици
Положението на центъра на масата за система от частици може да се разглежда като тяхното средно положение на масата.
Същата идея може да се използва като за твърд обект, ако си представите, че тази система от частици са свързани с твърда, безмасова равнина. Тогава центърът на масата би бил точката на баланс на тази система.
За математическо определяне на центъра на масата на система от частици може да се използва следната проста формула:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
КъдетоМе общата маса на системата,мiса отделните маси иriса техните вектори на позицията.
В едно измерение (за маси, разпределени по права линия) можете да заменитеrсх.
В две измерения можете да намеритех-координат иу-координата на центъра на масата поотделно като:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ текст {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Примери за изчисляване на центъра на масата
Пример 1:Намерете координатите на центъра на масата на следната система от частици: частица с маса 0,1 kg намира се на (1, 2), частица с маса 0,05 kg, намираща се на (2, 4) и частица с маса 0,075 kg, намираща се на (2, 1).
Решение 1:Приложете формулата зах-координата на центъра на масата, както следва:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ текст {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (1) + 0.05 (2 ) + 0,075 (2)) \\\ текст {} \\ = 0,079
След това приложете формулата зау-координата на центъра на масата, както следва:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ текст {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (2) + 0.05 (4 ) + 0,075 (1)) \\\ текст {} \\ = 2.11
Така че местоположението на центъра на масата е (0,079, 2,11).
Пример 2:Намерете местоположението на центъра на масата на равностоен триъгълник с равномерна плътност, чиито върхове се намират в точки (0, 0), (1, 0) и (1/2, √3 / 2).
Решение 2:Трябва да намерите геометричния център на този равностранен триъгълник със странична дължина 1. Theх-координатата на геометричния център е ясна - тя е просто 1/2.
Theу-координатата е малко по-сложна. Това ще се случи на мястото, където права от върха на триъгълника до точката (0, 1/2) се пресича с линия от който и да е от другите върхове до средната точка на една от противоположната страна. Ако скицирате такава подредба, ще се озовете с 30-60-90 правоъгълен триъгълник, чийто дълъг крак е 0,5, а късият крак еу-координатен. Връзката между тези страни е √3y = 1/2, следователно y = √3 / 6, а координатите на центъра на масата са (1/2, √3 / 6).
Движение на центъра за маса
Местоположението на центъра на масата на обект или система от обекти може да се използва като отправна точка в много физически изчисления.
Когато се работи със система от взаимодействащи частици, например, намирането на центъра на масата на системата дава възможност за разбиране на линейния импулс. Когато линейният импулс се запази, центърът на масата на системата ще се движи с постоянна скорост, дори когато самите обекти се отскачат един от друг.
За падащ твърд обект гравитацията може да се третира като действаща върху центъра на масата на този обект, дори ако този обект се върти.
Същото важи и за снарядите. Представете си как хвърляте чук и докато лети през дъга във въздуха, той се върти от край до край. Отначало това може да изглежда като сложно движение за моделиране, но се оказва, че центърът на масата на чука се движи по хубава гладка параболична пътека.
Може да се извърши прост експеримент, който демонстрира това чрез залепване на малко парче светеща лента към центъра на масата на чука и след това хвърляне на чука, както е описано в тъмна стая. Изглежда, че светещата лента се движи по гладка дъга, като хвърлена топка.
Прост експеримент: Намерете центъра на масата на метла
Забавен експеримент с център на масата, който можете да изпълните у дома, включва използването на проста техника за намиране на центъра на масата на метла. Всичко, от което се нуждаете за този експеримент, е една метла и две ръце.
С раздалечени ръце, вдигнете метлата в края на два показалеца. След това бавно приближете ръцете си, плъзгайки ги под метлата. Докато приближавате ръцете си по-близо една към друга, може да забележите, че едната ръка иска да се плъзне по долната страна на дръжката на метлата, докато другата остава за известно време, преди да се плъзне.
През цялото време, когато ръцете ви се движат, метлата остава балансирана. В крайна сметка, когато двете ви ръце се срещнат, те ще се срещнат на мястото на центъра на масата на метлата.
Център за маса на човешкото тяло
Центърът на масата на човешкото тяло е разположен някъде близо до пъпа (пъпа). При мъжете центърът на масата има тенденция да бъде малко по-висок, тъй като те носят повече телесна маса в горната част на тялото, а при жените центърът на масата е по-нисък, тъй като те носят повече маса в бедрата си.
Ако застанете на един крак, вашият център на масата ще се измести към страната на стъпалото, на която стоите. Може да забележите, че се навеждате повече към тази страна. Това е така, защото за да останете балансирани, вашият център на маса трябва да остане над стъпалото, върху което балансирате, или в противен случай ще се преобърнете.
Ако застанете с единия крак и ханша до стената и се опитате да повдигнете другия си крак, вероятно ще го намерите невъзможно, защото стената предотвратява преместването на тежестта ви над крака на баланса.
Друго нещо, което трябва да опитате, е да застанете с гръб към стената, а петите да докосват стената. След това се опитайте да се наведете напред и да докоснете пода, без да огъвате краката си. Жените може да са по-успешни в тази задача от мъжете, тъй като техният център на масата е по-ниско в тялото им и може да се окаже, че все още е над пръстите на краката си, докато се навеждат напред.
Център за маса и стабилност
Разположението на центъра на масата спрямо основата на обекта определя неговата стабилност. Нещо се счита за стабилно балансирано, ако, когато се наклони леко и след това се освободи, след това се върне в първоначалното си положение, вместо да се преобърне допълнително и да падне.
Помислете за триизмерна пирамидална форма. Ако е балансиран в основата си, той е стабилен. Ако повдигнете леко единия край и го пуснете, той пада обратно надолу. Но ако се опитате да балансирате пирамидата на върха й, тогава всякакви отклонения от идеалния баланс ще я накарат да падне.
Можете да определите дали даден обект ще падне обратно в първоначалното си положение или да се преобърне, като погледнете местоположението на центъра на масата спрямо основата. След като центърът на масата се премести покрай основата, обектът ще се преобърне.
Ако спортувате, може би сте запознати с позицията на готовност, когато стоите с широка стойка и свити колене. Това поддържа центъра на масата нисък, а широката основа ви прави по-стабилни. Помислете колко трудно би трябвало да ви подтикне някой, за да ви преобърне, ако сте в готовност срещу. когато сте изправени изправени със събрани крака.
Някои автомобили имат проблеми с преобръщането, когато правят остри завои. Това се дължи на местоположението на техния център на маса. Ако центърът на масата на превозното средство е твърде висок и основата не е достатъчно широка, тогава не е необходимо много да го накарате да се преобърне. Винаги е най-добре за стабилността на превозното средство да бъде възможно най-ниското тегло.