Замисляли ли сте се колко вода или кафе могат да се поберат в една от онези на пръв поглед безброй пластмасови чаши за еднократна употреба, които са по-тесни в основата, отколкото в горната част? С други думи, почти всяка хартия, пластмаса или друга чаша за еднократна употреба, която някога сте виждали или използвали? (За да бъдем честни, някои чаши нямат наклонени страни и следователно са цилиндрични, но изглежда, че това се отнася само за постоянен чаши.)
Типът форма, описан по-горе, се основава на a конус, което е резултат от линия, която преминава през пространството и очертава извита пътека като кръг (в най-простия случай) или елипса. Обикновено чашата не е заострена (някои, в които има замразени лакомства), но все пак е „парче“ от конус, геометрично погледнато. Това улеснява търпението да намерите звука.
Обемът на конус
Формулата за обема на правилен или десен конус (т.е. такъв с кръгла основа) е
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Където r е радиусът на основата и з е височината на конуса. Също така, тъй като отстрани десният конус изглежда като два правоъгълни триъгълника, поставени заедно, дължината
с на наклонената страна на конуса има същата стойност като хипотенузата на един от тези триъгълници. По този начин се дава чрез прилагане на питагорейската теорема: r2 + з2 = s2, такаs = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Обемът на заострената чаша: Първа част
Да кажем, че имате чаша, която е широка 8 сантиметра (см) в основата, 10 см в горната част и 15 см висока. Колко течност може да побере в см3, наричани още милилитри (mL)?
Един от начините да се подходите към този проблем е да нарисувате напречно сечение на чашата, тоест как изглежда отстрани, след като сте разрязани точно наполовина перпендикулярно на вашето зрително поле. Ако начертаете вертикални линии нагоре от двете точки, където основата отговаря на страните до върха на чашата, сега сте разделили напречното сечение на два равни, отразени правоъгълни триъгълника и a правоъгълник. Триъгълниците имат дълги "крака" от 15 см и къси "крака" от 1 см (разделяйки разликата между основната ширина и горната ширина).
Обемът на заострената чаша: Втора част
Обърнете внимание какво се случва, ако удължите страните на чашата във вашата диаграма до точка под основата. Също така удължете линия нагоре от центъра на върха към точката, към която тези линии се събират. (Може да не разполагате с място, за да свържете страните и да образувате затворен триъгълник, но се приближете колкото можете по-близо,)
Поради принципа на подобни триъгълници знаете, че съотношението на дългия крак на триъгълниците отгоре (15 см) към това на малкия крак (1 cm) или 15 към 1, трябва да е същото като съотношението на малкия крак към дългия крак на един новосъздаден триъгълник между основата на "чашата" и точка. Тъй като малкият крак има стойност 4 cm, дългият крак трябва да е 15 пъти по-голям или 60 cm.
По този начин сега се справяте с напречното сечение на конус с обща височина 15 + 60 = 75 cm и ширина 10 cm, което означава радиус 5 cm. Обемът на този конус минус обема на конуса, простиращ се до основата на чашата, който има височина 60 cm и ширина 8 cm (r = 4 cm), дава желания резултат:
\ начало {подравнено} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ текст {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ текст {мл} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ текст {мл} \ край {подравнено}
По този начин чашата ви побира много близо до 1 L (1000 mL) течност.
Калкулатор за обем на конус и чаша
Вижте „Ресурси“ за списък на калкулаторите, включващи конуси с различни начални комбинации от информация. Като алтернатива можете да използвате подход като този по-горе и да разделите чашата на различни форми, след което да използвате по-прости формули (като формулата за обема на куб) в подходящи комбинации, за да се намери общото сила на звука.