Представете си, че стоите в средата на идеално кръгла арена. Поглеждате към тълпите по страните на арената и забелязвате най-добрия си приятел на едно място, а учителя по математика в средното училище - няколко секции. Какво е разстоянието между тях и вас? Колко далеч ще трябва да извървите, за да пътувате от мястото на приятеля си до мястото на учителя си? Какви са мерките на ъглите между вас? Това са всички въпроси, свързани с централните ъгли.
A централен ъгъл е ъгълът, който се образува, когато се изчертаят два радиуса от центъра на окръжността до нейните ръбове. В този пример двата радиуса са вашите две зрителни линии от вас, в центъра на арената, до вашия приятел и вашето зрение към вашия учител. Ъгълът, който се образува между тези две линии, е централният ъгъл. Това е ъгълът, най-близък до центъра на кръга.
Вашият приятел и вашият учител са седнали по протежение на обиколка или ръбовете на кръга. Пътят по арената, който ги свързва, е дъга.
Намерете централния ъгъл от дължината на дъгата и обиколката
Има няколко уравнения, които можете да използвате, за да намерите централния ъгъл. Понякога ще получите дължината на дъгата, разстоянието по обиколката между две точки. (В примера това е разстоянието, което би трябвало да изминете около арената, за да стигнете от вашия приятел до вашия учител.) Връзката между централния ъгъл и дължината на дъгата е:
(дължина на дъгата) ÷ обиколка = (централен ъгъл) ÷ 360 °
Централният ъгъл ще бъде в градуси.
Тази формула има смисъл, ако се замислите. Дължината на дъгата от общата дължина около кръга (обиколката) е същата пропорция като ъгъла на дъгата извън общия ъгъл в кръг (360 градуса).
За да използвате ефективно това уравнение, трябва да знаете обиколката на окръжността. Но можете също да използвате тази формула, за да намерите дължината на дъгата, ако знаете централния ъгъл и обиколката. Или, ако имате дължината на дъгата и централния ъгъл, можете да намерите обиколката!
Намерете централния ъгъл от дължината и радиуса на дъгата
Можете също да използвате радиуса на окръжността и дължината на дъгата, за да намерите централния ъгъл. Извикайте мярката на централния ъгъл θ. Тогава:
θ = s÷ r, където s е дължината на дъгата, а r е радиусът. θ се измерва в радиани.
Отново можете да пренаредите това уравнение в зависимост от информацията, която имате. Можете да намерите дължината на дъгата от радиуса и централния ъгъл. Или можете да намерите радиуса, ако имате централния ъгъл и дължината на дъгата.
Ако искате дължината на дъгата, уравнението изглежда така:
s =θ * r, където s е дължината на дъгата, r е радиусът, а θ е централният ъгъл в радиани.
Теорема за централния ъгъл
Нека добавим обрат към вашия пример, когато сте на арената със съседа и учителя си. Сега има трети човек, когото познавате на арената: вашият съсед в съседство. И още нещо: Те са зад теб. Трябва да се обърнеш, за да ги видиш.
Вашият съсед е приблизително през манежа от вашия приятел и вашия учител. От гледна точка на вашия съсед, има ъгъл, образуван от тяхното зрително поле спрямо приятеля и тяхното зрително поле спрямо учителя. Това се нарича вписан ъгъл. An вписан ъгъл е ъгъл, образуван от три точки по обиколката на окръжност.
Теоремата за централния ъгъл обяснява връзката между размера на централния ъгъл, образуван от вас, и вписания ъгъл, образуван от вашия съсед. The Теорема за централния ъгъл гласи че централният ъгъл е два пъти надписания ъгъл. (Това предполага, че използвате същите крайни точки. И двамата гледате учителя и приятеля, а не никой друг).
Ето още един начин да го напишете. Нека наречем седалката на вашия приятел A, седалката на вашия учител B и седалката на вашия съсед C. Вие, в центъра, можете да бъдете O.
И така, за три точки A, B и C по обиколката на окръжност и точка O в центъра, централният ъгъл ∠AOC е два пъти надписания ъгъл ∠ABC.
Това е, ∠AOC = 2∠ABC.
Това има някакъв смисъл. По-близо сте до приятеля и учителя, така че за вас те изглеждат по-отдалечени (по-голям ъгъл). За вашия съсед от другата страна на стадиона те изглеждат много по-близо един до друг (по-малък ъгъл).
Изключение от теоремата за централния ъгъл
Сега, нека изместим нещата нагоре. Вашият съсед от другата страна на арената започва да се движи! Те все още имат линия на видимост към приятеля и учителя, но линиите и ъглите продължават да се променят, докато съседът се движи. Познайте какво: Докато съседът остава извън дъгата между приятеля и съседа, теоремата за централния ъгъл все още е вярна!
Но какво се случва, когато съседът се премести между приятелят и учителят? Сега вашият съсед е вътре в малка дъга, относително малкото разстояние между приятеля и учителя в сравнение с по-голямото разстояние около останалата част от арената. След това стигате до изключение от теоремата за централния ъгъл.
The изключение от теоремата за централния ъгъл заявява, че когато точка C, съседът, е вътре в малката дъга, вписаният ъгъл е допълнение към половината от централния ъгъл. (Не забравяйте, че ъгълът и неговите добавка добавете до 180 градуса.)
Така: вписан ъгъл = 180 - (централен ъгъл ÷ 2)
Или: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Визуализирайте
Math Open Reference има инструмент за визуализиране на теоремата за централния ъгъл и нейното изключение. Можете да плъзнете "съседа" до всички различни части на кръга и да наблюдавате промяната на ъглите. Опитайте, ако искате визуална или допълнителна практика!