3 Метода за решаване на системи от уравнения

Трите метода, които най-често се използват за решаване на системи от уравнения, са заместващи, елиминиращи и разширени матрици. Заместването и елиминирането са прости методи, които могат ефективно да решат повечето системи от две уравнения в няколко ясни стъпки. Методът на разширените матрици изисква повече стъпки, но приложението му обхваща по-голямо разнообразие от системи.

Заместването е метод за решаване на системи от уравнения чрез премахване на всички променливи освен едно от уравненията и след това решаване на това уравнение. Това се постига чрез изолиране на другата променлива в уравнение и след това заместване на стойностите за тези променливи в друго уравнение. Например, за да решите системата от уравнения x + y = 4, 2x - 3y = 3, изолирайте променливата x в първия уравнение, за да получите x = 4 - y, след това заместете тази стойност на y във второто уравнение, за да получите 2 (4 - y) - 3y = 3. Това уравнение опростява до -5y = -5 или y = 1. Включете тази стойност във второто уравнение, за да намерите стойността на x: x + 1 = 4 или x = 3.

Елиминирането е друг начин за решаване на системи от уравнения чрез пренаписване на едно от уравненията по отношение само на една променлива. Методът на елиминиране постига това чрез добавяне или изваждане на уравнения едно от друго, за да се отмени една от променливите. Например, добавянето на уравненията x + 2y = 3 и 2x - 2y = 3 дава ново уравнение, 3x = 6 (имайте предвид, че y термините са отменени). След това системата се решава, като се използват същите методи като за заместване. Ако е невъзможно да се отменят променливите в уравненията, ще е необходимо да се умножи цялото уравнение по коефициент, за да накарат коефициентите да съвпадат.

Разширените матрици могат да се използват и за решаване на системи от уравнения. Разширената матрица се състои от редове за всяко уравнение, колони за всяка променлива и разширена колона, която съдържа постоянния член от другата страна на уравнението. Например, увеличената матрица за системата от уравнения 2x + y = 4, 2x - y = 0 е [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Следващата стъпка включва използване на елементарни операции с редове, като умножаване или разделяне на ред с константа, различна от нула, и добавяне или изваждане на редове. Целта на тези операции е да преобразува матрицата във форма на ешелон на ред, в която първото ненулево въвеждане във всеки ред е 1, записи горе и под този запис са всички нули и първият ненулев запис за всеки ред винаги е вдясно от всички такива записи в редовете над него. Формата на редовия ешелон за горната матрица е [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Стойността на първата променлива се дава от първия ред (1x + 0y = 1 или x = 1). Стойността на втората променлива се дава от втория ред (0x + 1y = 2 или y = 2).

Заместването и елиминирането са по-прости методи за решаване на уравнения и се използват много по-често от увеличените матрици в основната алгебра. Методът на заместване е особено полезен, когато една от променливите вече е изолирана в едно от уравненията. Методът на елиминиране е полезен, когато коефициентът на една от променливите е еднакъв (или нейният отрицателен еквивалент) във всички уравнения. Основното предимство на разширените матрици е, че може да се използва за решаване на системи от три или повече уравнения в ситуации, когато заместването и елиминирането са или невъзможни, или невъзможни.