Тъй като електрическите вериги стават по-сложни с множество клонове и елементи, това може да стане все по-често предизвикателство да се определи колко ток може да тече през даден клон и как да се коригират нещата съответно. Полезно е да има систематичен начин за анализ на вериги.
Важни определения
За да се разберат законите на Кирхоф, са необходими няколко определения:
- ВолтажVе потенциалната разлика в елемента на веригата. Измерва се в единици волта (V).
- ТекущАзе мярка за скоростта на потока на заряда след точка във верига. Измерва се в единици ампери (А).
- СъпротиваRе мярка за противопоставяне на елемента на веригата на текущия поток. Измерва се в единици ома (Ω).
- Законът на Ом свързва тези три величини чрез следното уравнение:V = IR.
Какви са законите на Кирххоф?
През 1845 г. немският физик Густав Кирххоф формализира следните две правила относно веригите:
1. Правилото за свързване (известно още като настоящия закон на Кирххоф или KCL):Сумата от всички токове, течащи в кръстовище във верига, трябва да се равнява на общия ток, изтичащ от кръстовището.
Друг начин, по който този закон понякога се формулира, е, че алгебричната сума на токовете, течащи в кръстовището, е 0. Това би означавало да се третира всеки ток, който тече в кръстовището, като положителен, а всеки изтичащ като отрицателен. Тъй като общият приток трябва да се равнява на общия изтичащ, е еквивалентно да се посочи, че сумите би било 0, тъй като това се равнява на преместване на изтичащите от другата страна на уравнението с отрицателни знак.
Този закон е верен чрез просто прилагане на запазване на таксата. Каквото и да тече, трябва да се равнява на това, което изтича. Представете си, че водопроводните тръби се свързват и разклоняват по подобен начин. Точно както бихте очаквали, че общата вода, течаща в кръстовище, е равна на общата вода, изтичаща от кръстовището, така е и с течащите електрони.
2. Правилото за контура (известно още като Закон за напрежението на Кирххоф или KVL):Сумата от потенциални (напрежения) разлики около затворен контур във верига трябва да бъде равна на 0.
За да разберете втория закон на Кирхоф, представете си какво би се случило, ако това не беше вярно. Помислете за едносхемен контур, в който има няколко батерии и резистори. Представете си, че започвате от моментаAи върви по посока на часовниковата стрелка около цикъла. Получавате напрежение, докато преминавате през батерия и след това падате напрежение, докато преминавате през резистор и така нататък.
След като изминете целия цикъл, стигате до точкатаAотново. Тогава сумата от всички потенциални разлики, докато заобикаляте цикъла, трябва да се равнява на потенциалната разлика между точкаAи себе си. Е, една точка не може да има две различни потенциални стойности, така че тази сума трябва да е 0.
Като аналогия помислете какво се случва, ако тръгнете по кръгова туристическа пътека. Да предположим, че започвате от моментаAи започнете туризъм. Част от екскурзията ви отвежда нагоре, а част от спускането и т.н. След завършване на цикъла се връщате в точкатаAотново. Задължително е, че сумата от вашите надморска височина и спадове в този затворен цикъл трябва да бъде 0, точно защото котата в точкатаAтрябва да се изравнява.
Защо законите на Kirchhoff са важни?
Когато работите с обикновена последователна верига, определянето на тока в контура изисква само познаване на приложеното напрежение и сумата на съпротивленията в контура (и след това прилагане на закона на Ом).
В паралелни вериги и електрически вериги с комбинации от последователни и паралелни елементи, обаче задачата за определяне на тока, протичащ през всеки клон, бързо се увеличава сложно. Токът, влизащ в кръстовище, ще се разделя, когато навлиза в различни части на веригата, и не е очевидно колко ще отиде във всяка посока без внимателен анализ.
Двете правила на Kirchhoff позволяват анализ на веригите на все по-сложни вериги. Въпреки че необходимите алгебрични стъпки все още са достатъчно ангажирани, самият процес е ясен. Тези закони се използват широко в областта на електротехниката.
Възможността за анализ на веригите е важна, за да се избегне претоварване на елементите на веригата. Ако не знаете колко ток ще тече през устройство или какво напрежение ще падне върху него, няма да знаете каква ще бъде изходната мощност и всичко това е от значение за функционирането на устройство.
Как да приложим законите на Kirchhoff
Правилата на Kirchhoff могат да бъдат приложени за анализ на електрическа схема чрез прилагане на следните стъпки:
- Ако токът преминава в положителна посока през източник на напрежение, това е положителна стойност на напрежението. Ако токът преминава в отрицателна посока през източник на напрежение, напрежението трябва да има отрицателен знак.
- Ако токът премине в положителна посока през резистивен елемент, тогава използвате закона на Ом и добавете-Азi× R(спадът на напрежението в този резистор) за този елемент. Ако токът преминава в отрицателна посока през резистивен елемент, тогава добавяте+ I i× Rза този елемент.
- След като преминете целия цикъл, задайте тази сума от всички напрежения, равна на 0. Повторете за всички контури във веригата.
За всеки клон,i, на веригата, обозначете непознатия ток, протичащ през нея, катоАзiи изберете посока за това течение. (Не е необходимо посоката да е правилна. Ако се окаже, че този ток всъщност тече в обратна посока, тогава просто ще получите отрицателна стойност при решаване на този ток по-късно.)
За всеки контур във веригата изберете посока. (Това е произволно. Можете да избирате обратно на часовниковата стрелка или по посока на часовниковата стрелка. Няма значение.)
За всеки цикъл започнете от една точка и обикалете в избраната посока, като добавите потенциалните разлики във всеки елемент. Тези потенциални разлики могат да бъдат определени по следния начин:
За всяко кръстовище сумата от токовете, вливащи се в това кръстовище, трябва да е равна на сумата от токовете, изтичащи от този кръстовище. Напишете това като уравнение.
Сега трябва да имате набор от едновременни уравнения, които ще ви позволят да определите тока (или други неизвестни величини) във всички клонове на веригата. Последната стъпка е алгебрично решаване на тази система.
Примери
Пример 1:Помислете за следната схема:
Прилагайки стъпка 1, за всеки клон обозначаваме неизвестните токове.
•••na
Прилагайки стъпка 2, ние избираме посока за всеки контур във веригата, както следва:
•••na
Сега прилагаме Стъпка 3: За всеки цикъл, започвайки от една точка и обикаляйки в избраната посока, събираме потенциалните разлики във всеки елемент и задаваме сумата, равна на 0.
За цикъл 1 на диаграмата получаваме:
-I_1 \ по 40 - I_3 \ по 100 + 3 = 0
За цикъл 2 на диаграмата получаваме:
-I_2 \ по 75 - 2 + I_3 \ по 100 = 0
За стъпка 4 прилагаме правилото за кръстовището. В нашата диаграма има две кръстовища, но и двете дават еквивалентни уравнения. А именно:
I_1 = I_2 + I_3
И накрая, за стъпка 5 използваме алгебра за решаване на системата от уравнения за неизвестните токове:
Използвайте уравнението на кръстовището, за да замените в първото уравнение на цикъла:
- (I_2 + I_3) \ по 40 - I_3 \ по 100 + 3 = -40I_2 - 140I_3 + 3 = 0
Решете това уравнение заАз2:
I_2 = \ frac {3-140I_3} {40}
Заместете това във второто уравнение на цикъла:
- [(3-140I_3) / 40] \ по 75 - 2 + 100I_3 = 0
Решете заАз3:
-3 \ пъти 75/40 + (140 \ пъти 75/40) I_3 - 2 + 100I_3 = 0 \\ \ предполага I_3 = (2 + 3 \ пъти 75/40) / (140 \ пъти 75/40 + 100) = 0,021 \ текст {A}
Използвайте стойността наАз3за решаване заАз2:
I_2 = (3-140 \ пъти (0,021)) / 40 = 0,0015 \ текст {A}
И реши заАз1:
I_1 = I_2 + I_3 = 0,021 + 0,0015 = 0,0225 \ текст {A}
Така че крайният резултат е такъвАз1= 0,0225 A,Аз2= 0,0015 А иАз3= 0,021 А.
Заместването на тези текущи стойности в оригиналните уравнения се проверява, така че можем да бъдем доста уверени в резултата!
Съвети
Тъй като е много лесно да се правят прости алгебрични грешки при такива изчисления, силно се препоръчва да го направите проверете дали крайните ви резултати съответстват на оригиналните уравнения, като ги включите и се уверите, че са работа.
Помислете да опитате същия проблем отново, но да направите различен избор за текущите си етикети и посоки на цикъла. Ако се направи внимателно, трябва да получите същия резултат, показващ, че първоначалният избор наистина е произволен.
(Обърнете внимание, че ако изберете различни посоки за своите етикетирани токове, тогава вашите отговори за тях ще се различават със знак минус; резултатите обаче пак ще съответстват на същата посока и величина на тока във веригата.)
Пример 2:Каква е електромоторната сила (ЕДС)εна батерията в следната схема? Какъв е токът във всеки клон?
•••na
Първо обозначаваме всички неизвестни течения. ПозволявамАз2= ток надолу през средния клон иАз1= ток надолу през крайния десен клон. Изображението вече показва токАзв крайния ляв клон с надпис.
Изборът на посока по посока на часовниковата стрелка за всеки контур и прилагането на законите на веригата на Kirchhoff дава следната система от уравнения:
\ начало {подравнено} & I_1 = I-I_2 \\ & \ varepsilon - 4I - 6I_2 + 8 = 0 \\ & -12I_1 - 8 + 6I_2 = 0 \ край {подравнено}
За да решите, заменетеАз - аз2заАз1в третото уравнение и след това включете дадената стойност заАзи решете това уравнение заАз2. След като разберетеАз2, можете да включитеАзиАз2в първото уравнение за получаванеАз1. След това можете да решите второто уравнение заε. Следването на тези стъпки дава окончателното решение:
\ begin {align} & I_2 = 16/9 = 1.78 \ text {A} \\ & I_1 = 2/9 = 0.22 \ text {A} \\ & \ varepsilon = 32/3 = 10.67 \ text {V} \ end { подравнен}
Отново, винаги трябва да проверявате окончателните си резултати, като ги включвате в първоначалните си уравнения. Много е лесно да се правят прости алгебрични грешки!