Продуктът на две скаларни величини е скалар, а произведението на скалар с вектор е вектор, но какво да кажем за произведението на два вектора? Скалар ли е, или друг вектор? Отговорът е, че може да бъде и двете!
Има два начина за умножаване на вектори заедно. Единият е като вземе техния точков продукт, който дава скалар, а другият е като вземе техния кръстосан продукт, който дава друг вектор. Кой продукт да използвате зависи от конкретния сценарий и какво количество се опитвате да намерите.
Theточков продуктпонякога се нарича "скаларен продуктиливътрешен продукт. Геометрично можете да мислите за точковото произведение между два вектора като начин за умножаване на векторните стойности, който отчита само приноса в една и съща посока.
- Забележка: Точковите продукти могат да бъдат отрицателни или положителни, но този знак не е указание за посоката. Въпреки че в едно измерение векторната посока често се обозначава със знак, скаларните величини могат да имат и свързани с тях знаци, които не са пътепоказатели. Дългът е само един от многото примери за това.
Определение на точков продукт
Точковият продукт на векториа = (ах, ау)иб = (bх, bу)в стандартна декартова координатна система се определя, както следва:
\ получер {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Когато вземете точковото произведение на вектор със себе си, възниква интересна връзка:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Където |а| е величината (дължината) нааот питагорейската теорема.
Друга формула на точков продукт може да бъде изведена, като се използва законът на косинусите. Това се прави по следния начин:
Помислете за нулеви векториаибзаедно с техния вектор на разликатаа - б. Подредете трите вектора, за да образувате триъгълник.
Законът на косинусите от тригонометрията ни казва, че:
| \ получер {ab} | ^ 2 = | \ получер {a} | ^ 2 + | \ получер {b} | ^ 2 - 2 | \ получер {a} || \ получер {b} | \ cos (\ theta )
И използвайки дефиницията на точков продукт, получаваме:
| \ получер {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Поставяйки двата израза равни и след това опростявайки, получаваме:
\ отмяна {| \ получер {a} | ^ 2} + \ отмяна {| \ удебелен {b} | ^ 2} - 2 \ получер {a \ cdot b} = \ отмяна {| \ получер {a} | ^ 2 } + \ отмяна {| \ получер {b} | ^ 2} - 2 | \ получер {a} || \ получер {b} | \ cos (\ theta) \\\ текст {} \\\ предполага \ в кутия {\ bold {a \ cdot b} = | \ получер {a} || \ получер {b} | \ cos (\ theta)}
Тази формулировка позволява нашата геометрична интуиция да влезе в игра. Количеството |а| cos (θ) е величината на проекцията на вектораавърху векторб.
Така че можем да мислим за точковото произведение като проекция на един вектор върху другия и след това произведението на техните стойности. С други думи, той може да се разглежда като произведение на един вектор с количеството на другия вектор в същата посока като него.
Свойства на точковото изделие
По-долу са дадени няколко свойства на точковия продукт, които биха могли да ви бъдат полезни:
\ # \ текст {1. Ако} \ theta = 0 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Това е така, защото cos (0) = 1.
\ # \ текст {2. Ако} \ theta = 180 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Това е така, защото cos (180) = -1.
\ # \ текст {3. Ако} \ theta = 90 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = 0
Това е така, защото cos (90) = 0.
- Забележка: За 0 <
θ
<90, точният продукт ще бъде положителен, а за 90 <
θ
<180, точковото произведение ще бъде отрицателно.
\ # \ текст {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Това следва от прилагането на комутативния закон към дефиницията на точков продукт.
\ # \ текст {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Доказателство:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ получер {a \ cdot c}
\ # \ текст {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Доказателство:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ получер {b}
Как да намерим точков продукт
Пример 1:Във физиката работа, извършена от силаFвърху обект, тъй като той претърпява изместванед, се дефинира като:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Където θ е ъгълът между вектора на силата и вектора на изместване.
Количеството работа, извършена от сила, е индикатор за това колко тази сила е допринесла за изместването. Ако силата е в същата посока като изместването (cos (θ) = 0), тя дава своя максимален принос. Ако е перпендикулярна на изместването (cos (Ѳ) = 90), изобщо не допринася. И ако е срещу изместването, (cos (θ) = 180), това дава отрицателен принос.
Да предположим, че детето бута влакче играчка през писта, като прилага сила от 5 N под ъгъл 25 градуса спрямо линията на пистата. Колко работа върши детето във влака, когато го премести с 0,5 м?
Решение:
F = 5 \ текст {N} \\ d = 0,5 \ текст {m} \\ \ theta = 25 \ градус \\
След това използваме точковото определение на продукта и включването на стойности, след което получаваме:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ пъти0,5 \ пъти \ cos (25) = \ в поле {2,27 \ текст {J}}
От този конкретен пример трябва да бъде още по-ясно, че прилагането на сила, перпендикулярна на посоката на изместване, не работи. Ако детето избута влака под прав ъгъл спрямо коловоза, влакът няма да се движи нито напред, нито назад по коловоза. Също така е интуитивно, че работата, извършена от детето във влака, ще се увеличава, тъй като ъгълът намалява и силата и изместването са по-близо до подравняването.
Пример 2:Мощността е друг пример за физическа величина, която може да бъде изчислена с помощта на точков продукт. Във физиката мощността е равна на работа, разделена на времето, но може да бъде записана и като точково произведение на сила и скорост, както е показано:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Къдетоvе скоростта.
Помислете за предишния пример за игра на детето с влака. Ако вместо това ни се каже, че се прилага същата сила, която кара влака да се движи с 2 m / s по коловоза, тогава можем да използваме точковото устройство, за да намерим мощността:
P = \ получер {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9,06 \ text {Watts}
Пример 3:Друг пример, при който точкови продукти се използват във физиката, е в случай на магнитен поток. Магнитният поток е количеството магнитно поле, преминаващо през дадена област. Той се намира като точков продукт на магнитното полеБ.с площтаA. (Посоката на вектор на площ енормалноили перпендикулярно на повърхността на зоната.)
\ Phi = \ получер {B \ cdot A}
Да предположим, че поле от 0,02 Тесла преминава през телена верига с радиус 10 см, което прави ъгъл от 30 градуса с нормалното. Какъв е потокът?
\ Phi = \ получер {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ пъти (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ пъти \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Когато този поток се промени, или чрез промяна на стойността на полето, промяна на областта на контура или промяна на ъгъл чрез завъртане на контура или източника на поле, токът ще се индуцира в контура, генерирайки електричество!
Отново обърнете внимание как ъгълът е уместен по интуитивен начин. Ако ъгълът беше 90 градуса, това би означавало, че полето ще лежи по същата равнина като площта и през контура няма да преминат линии на полето, което да доведе до поток. Тогава количеството на потока се увеличава, колкото по-близо е ъгълът между полето и нормалата до 0. Точковият продукт ни позволява да определим каква част от полето е в посоката, нормална на повърхността, и следователно допринася за потока.
Векторна проекция и точният продукт
В по-ранни раздели беше споменато, че точковото произведение може да се разглежда като начин за прожектиране на един вектор върху друг и след това умножаване на техните величини. Като такова не би трябвало да е изненадващо, че формула за векторна проекция може да бъде получена от точковото произведение.
За да се проектира векторавърху векторб, вземаме точковото произведение наасединичен векторв посокаби след това умножете този скаларен резултат по един и същ единичен вектор.
Единичен вектор е вектор с дължина 1, който се намира в определена посока. Единичният вектор по посока на векторабе просто векторбразделено на неговата величина:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Така че тази проекция е следното:
\ text {Проекция на} \ bold {a} \ text {на} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Голям) \ удебелен {b}
Точковият продукт в по-голямо измерение
Както векторите съществуват в по-високо измерение, така и точковото произведение. Представете си примера на детето, което отново бута влака. Да предположим, че тя натиска както надолу, така и под ъгъл отстрани на пистата. В стандартна координатна система векторите на сила и изместване трябва да бъдат представени като триизмерни.
Внразмери, точният продукт се определя, както следва:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Всички едни и същи свойства на точки от преди все още се прилагат и законът на косинусите отново дава връзката:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Когато величината на всеки вектор се намира чрез следното, отново в съответствие с теоремата на Питагор:
| \ получер {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Как да намерим точковия продукт в три измерения
Пример 1:Точковият продукт е особено полезен, когато се налага да се намери ъгълът между два вектора. Да предположим например, че искаме да определим ъгъла междуа= (2, 3, 2) иб= (1, 4, 0). Дори ако скицирате тези два вектора в 3-пространството, може да бъде много трудно да увиете главата си около геометрията. Но математиката е доста ясна, използвайки факта, че:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ предполага \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ получер {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ получер {b} |} \ Голям)
След това изчисляване на точковото произведение нааиб:
\ получер {a \ cdot b} = 2 \ пъти1 + 3 \ пъти4 + 2 \ пъти0 = 14
И изчисляване на величините на всеки вектор:
| \ получер {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
И накрая включвайки всичко, получаваме:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Голям (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Голям (\ frac {14} {4.12 \ по 4.12} \ Голям) = \ в кутия {34.4 \ градус}
Пример 2:Положителният заряд се намира в координатната точка (3, 5, 4) в триизмерното пространство. В коя точка по линията, сочеща посоката на вектораа= (6, 9, 5) електрическото поле най-голямо ли е?
Решение: От нашите знания за това как силата на електрическото поле е свързано с разстоянието, ние знаем, че точката на линията, която е най-близо до положителния заряд, е мястото, където полето ще бъде най-силен. От познанията ни за точките може да предположим, че използването на прожекционната формула има смисъл тук. Тази формула трябва да ни даде вектор, чийто връх е точно в точката, която търсим.
Трябва да изчислим:
\ text {Проекция на} (3, 5, 4) \ text {на} \ bold {a} = \ Голям ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Голямо) \ получер {a}
За да направите това, първо, нека намерите |а|2:
| \ получер {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Тогава точният продукт:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ пъти6 + 5 \ пъти9 + 4 \ пъти5 = 83
Разделяйки това на |а|2 дава 83/142 = 0,585. След това умножаваме този скалар поадава:
0,585 \ получер {a} = 0,585 \ пъти (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Следователно точката по линията, където полето е най-силно е (3,51, 5,27, 2,93).