Уравнението на Шрьодингер е най-фундаменталното уравнение в квантовата механика и ученето как да се използва и какво означава това е от съществено значение за всеки начинаещ физик. Уравнението е кръстено на Ервин Шрьодингер, който спечели Нобелова награда заедно с Пол Дирак през 1933 г. за техния принос в квантовата физика.
Уравнението на Шрьодингер описва вълновата функция на квантовомеханична система, която дава вероятностна информация за местоположението на частица и други наблюдаеми величини като нейната импулс. Най-важното нещо, което ще разберете за квантовата механика, след като научите за уравнението, е, че законите в квантовата област самного различенот тези на класическата механика.
Вълновата функция
Вълновата функция е едно от най-важните понятия в квантовата механика, тъй като всяка частица е представена от вълнова функция. Обикновено се дава гръцката буква psi (Ψ) и зависи от позицията и времето. Когато имате израз за вълновата функция на частица, той ви казва всичко, за което може да се знае физическата система и могат да се получат различни стойности за наблюдавани величини чрез прилагане на оператор към то.
Квадратът на модула на вълновата функция ви казва вероятността да намерите частицата в дадено положениехв даден моментT. Това е само в случая, ако функцията е „нормализирана“, което означава, че сумата от квадратния модул за всички възможни местоположения трябва да е равна на 1, т.е. че частицата есигуренда се намиранякъде.
Обърнете внимание, че вълновата функция предоставя само вероятностна информация и затова не можете да предскажете резултата от едно наблюдение, въпреки че виемогаопределете средната стойност за много измервания.
Можете да използвате вълновата функция за изчисляване на„Очаквана стойност“за позицията на частицата във времетоT, като очакваната стойност е средната стойност нахбихте получили, ако повторите измерването много пъти.
Отново, това не ви казва нищо за конкретно измерване. Всъщност вълновата функция е по-скоро разпределение на вероятността за отделна частица, отколкото нещо конкретно и надеждно. Като използвате подходящия оператор, можете също така да получите очаквани стойности за импулс, енергия и други наблюдаеми величини.
Уравнението на Шрьодингер
Уравнението на Шрьодингер е линейно диференциално уравнение за частни процеси, което описва еволюцията на a квантово състояние по подобен начин на законите на Нютон (по-специално вторият закон) в класическия механика.
Уравнението на Шрьодингер обаче е уравнение на вълната за вълновата функция на въпросната частица и затова използването на уравнението за прогнозиране на бъдещото състояние на система понякога се нарича „вълнова механика“. Самото уравнение произтича от запазването на енергията и е изградено около оператор, наречен Хамилтонов.
Най-простата форма на уравнението на Шрьодингер за записване е:
H Ψ = iℏ \ frac {\ частичноΨ} {\ частично t}
Където ℏ е намалената константа на Планк (т.е. константата, разделена на 2π) иЗ.е хамилтоновият оператор, който съответства на сумата от потенциалната енергия и кинетичната енергия (обща енергия) на квантовата система. Хамилтонианът обаче е доста дълъг израз, така че пълното уравнение може да бъде записано като:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ частично ^ 2 Ψ} {\ частично x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ частичноΨ} {\ частично t}
Отбелязвайки, че понякога (за изрично триизмерни задачи) първата частична производна се записва като лапласов оператор2. По същество Хамилтониан действа върху вълновата функция, за да опише своята еволюция в пространството и времето. Но в независимата от времето версия на уравнението (т.е. когато системата не зависи отT), хамилтонианът дава енергията на системата.
Решаването на уравнението на Шрьодингер означава намиране наквантовомеханична вълнова функциякоето го удовлетворява за конкретна ситуация.
Зависимото от времето уравнение на Шрьодингер
Зависимото от времето уравнение на Шрьодингер е версията от предишния раздел и описва еволюцията на вълновата функция за частица във времето и пространството. Един прост случай за разглеждане е свободна частица, тъй като потенциалната енергияV= 0 и решението приема формата на плоска вълна. Тези решения имат формата:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Къдеток = 2π / λ, λе дължината на вълната иω = Е. / ℏ.
За други ситуации частта с потенциалната енергия в оригиналното уравнение описва гранични условия за пространствена част от вълновата функция и тя често се разделя на функция за еволюция на времето и независима от времето уравнение.
Независимото от времето уравнение на Шрьодингер
За статични ситуации или решения, които образуват стоящи вълни (като потенциални кладенци, решения в стил „частица в кутия“), можете да разделите вълновата функция на времеви и пространствени части:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Когато преминете през това изцяло, времевата част може да бъде отменена, оставяйки форма на уравнението на Шрьодингерсамозависи от позицията на частицата. Тогава независимата от времето вълнова функция се дава от:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
ТукЕ.е енергията на квантовата механична система, иЗ.е хамилтоновият оператор. Тази форма на уравнението приема точната форма на уравнение на собствена стойност с вълновата функция като собствена функция и енергията като собствена стойност, когато се прилага хамилтоновият оператор към него. Разширявайки хамилтониана в по-ясна форма, той може да бъде написан изцяло като:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ частично ^ 2 Ψ} {\ частично x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Часовата част на уравнението се съдържа във функцията:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Решения за независимото от времето уравнение на Шрьодингер
Независимото от времето уравнение на Шрьодингер се поддава добре на доста ясни решения, тъй като намалява пълната форма на уравнението. Перфектен пример за това е групата от решения „частица в кутия“, където се приема, че частицата е в безкраен квадратен потенциален кладенец в едно измерение, така че има нулев потенциал (т.е.V= 0) през цялото време и няма шанс частицата да бъде открита извън кладенеца.
Има и краен квадратен кладенец, където потенциалът на „стените“ на кладенеца не е безкраен и дори да е по-висок от енергията на частицата, иманякоивъзможност за намиране на частицата извън нея поради квантово тунелиране. За безкрайния потенциален кладенец решенията имат формата:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
КъдетоLе дължината на кладенеца.
Потенциалът на делта функция е много подобна концепция на потенциалния кладенец, с изключение на ширинатаLще достигне нула (т.е. да бъде безкрайно малка около една точка) и дълбочината на кладенеца да върви към безкрайност, докато произведението на двете (U0) остава постоянна. В тази много идеализирана ситуация има само едно обвързано състояние, дадено от:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
С енергия:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Разтвор на водороден атом към уравнението на Шрьодингер
И накрая, решението за водородния атом има очевидни приложения във физиката в реалния свят, но на практика ситуацията тъй като електрон около ядрото на водороден атом може да се разглежда като доста подобен на потенциалния кладенец проблеми. Ситуацията обаче е триизмерна и е най-добре описана в сферични координатиr, θ, ϕ. Решението в този случай се дава от:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
КъдетоPса полиномите на Legendre,Rса специфични радиални решения, ине константа, която фиксирате, като използвате факта, че вълновата функция трябва да бъде нормализирана. Уравнението дава енергийни нива, дадени от:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
КъдетоZ.тук е атомният номер (така чеZ.= 1 за водороден атом),дв този случай е зарядът на електрон (а не константатад = 2.7182818...), ϵ0 е диелектричната проницаемост на свободното пространство иμе намалената маса, която се основава на масите на протона и електрона във водороден атом. Този израз е добър за всеки водород-подобен атом, което означава всяка ситуация (включително йони), когато има един електрон, който обикаля около централното ядро.
