Разрешаването на загадките на електромагнетизма е едно от най-големите постижения на физиката до момента, а научените уроци са изцяло капсулирани в уравненията на Максуел.
Джеймс Клерк Максуел дава името си на тези четири елегантни уравнения, но те са кулминацията на десетилетия работа на много физици, включително Майкъл Фарадей, Андре-Мари Ампер и Карл Фридрих Гаус - които дават имената си на три от четирите уравнения - и много други. Докато самият Максуел само добави термин към едно от четирите уравнения, той имаше предвидливост и разбиране съберете най-доброто от работата, извършена по темата, и ги представете по начин, който все още се използва от физици днес.
В продължение на много, много години физиците вярваха, че електричеството и магнетизмът са отделни сили и отделни явления. Но чрез експерименталната работа на хора като Фарадей става все по-ясно, че те всъщност са две страни на същото явление и уравненията на Максуел представят тази единна картина, която все още е валидна и днес, както през 19-ти век. Ако ще изучавате физика на по-високи нива, абсолютно трябва да знаете уравненията на Максуел и как да ги използвате.
Уравнения на Максуел
Уравненията на Максуел са както следва, както в диференциалната форма, така и в интегралната форма. (Имайте предвид, че макар познанието за диференциални уравнения да е полезно тук, концептуално разбиране е възможно дори и без него.)
Закон на Гаус за електричество
Диференциална форма:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Интегрална форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Без монополен закон / Закон за магнетизма на Гаус
Диференциална форма:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Интегрална форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Законът за индукция на Фарадей
Диференциална форма:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Интегрална форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Законът на Ампер-Максуел / Законът на Ампер
Диференциална форма:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Интегрална форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Символи, използвани в уравненията на Максуел
Уравненията на Максуел използват доста голям избор от символи и е важно да разберете какво означават те, ако ще се научите да ги прилагате. И така, тук е изчерпване на значенията на използваните символи:
Б.= магнитно поле
Е.= електрическо поле
ρ= плътност на електрическия заряд
ε0= диелектрична проницаемост на свободното пространство = 8,854 × 10-12 м-3 килограма-1 с4 A2
q= общ електрически заряд (нетна сума от положителни и отрицателни заряди)
𝜙Б. = магнитен поток
J= плътност на тока
Аз= електрически ток
° С= скорост на светлината = 2.998 × 108 Госпожица
μ0 = пропускливост на свободното пространство = 4π × 10−7 Няма данни2
Освен това е важно да знаете, че ∇ е операторът del, точка между две величини (х ∙ Y.) показва скаларен продукт, удебелен символ за умножение между две величини е векторен продукт (х × Y.), че операторът del с точка се нарича „дивергенция“ (напр. ∇ ∙ х= дивергенция нах= divх) и del оператор със скаларен продукт се нарича curl (напр.,× Y.= къдряне наY.= извиванеY.). И накрая,Aв dAозначава площта на затворената повърхност, за която изчислявате (понякога се записва като dС) исв dсе много малка част от границата на отворената повърхност, за която изчислявате (въпреки че това понякога е dл, отнасящи се до безкрайно малък компонент на линия).
Извеждане на уравненията
Първото уравнение на уравненията на Максуел е законът на Гаус и гласи, че нетният електрически поток през a затворената повърхност е равна на общия заряд, съдържащ се във формата, разделен на диелектричната проницаемост на свободния пространство. Този закон може да бъде извлечен от закона на Кулон, след като е предприета важната стъпка за изразяване на закона на Кулон по отношение на електрическо поле и ефекта, който би имал върху изпитвателен заряд.
Второто от уравненията на Максуел е по същество еквивалентно на твърдението, че „няма магнитни монополи“. В него се посочва че нетният магнитен поток през затворена повърхност винаги ще бъде 0, защото магнитните полета винаги са резултат от a дипол. Законът може да бъде извлечен от закона на Био-Саварт, който описва магнитното поле, произведено от текущ елемент.
Третото уравнение - законът на Фарадей за индукцията - описва как променящото се магнитно поле създава напрежение в контур от тел или проводник. Първоначално е извлечен от експеримент. Въпреки това, като се има предвид резултатът, че променящият се магнитен поток индуцира електродвижеща сила (ЕМП или напрежение) и по този начин електрически ток в контур от тел и фактът, че ЕМП се определя като линеен интеграл на електрическото поле около веригата, законът е лесен за поставяне заедно.
Четвъртото и последно уравнение, законът на Ампер (или законът на Ампер-Максуел, който му дава признание за неговото принос) описва как се генерира магнитно поле от движещ се заряд или променящо се електрическо поле. Законът е резултат от експеримент (и така - както всички уравнения на Максуел - всъщност не е „изведен“ в традиционен смисъл), но използвайкиТеорема на Стоксе важна стъпка за получаване на основния резултат във формата, използвана днес.
Примери за уравнения на Максуел: Закон на Гаус
За да бъдем откровени, особено ако не сте точно във вашето векторно изчисление, уравненията на Максуел изглеждат доста обезсърчително, въпреки колко сравнително компактни са всички. Най-добрият начин наистина да ги разберете е да разгледате някои примери за използването им на практика, а законът на Гаус е най-доброто място за започване. Законът на Гаус е по същество по-фундаментално уравнение, което върши работата на закона на Кулон и е така доста лесно да се извлече законът на Кулон от него, като се разгледа електрическото поле, произведено от точка зареждане.
Обаждане на таксатаq, ключовият момент за прилагането на закона на Гаус е изборът на правилната „повърхност“, за да се изследва електрическият поток. В този случай сфера работи добре, която има повърхностA = 4πr2, защото можете да центрирате сферата върху точковия заряд. Това е огромна полза за решаването на подобни проблеми, тъй като тогава не е необходимо да интегрирате различно поле по повърхността; полето ще бъде симетрично около точковия заряд и така ще бъде постоянно по повърхността на сферата. Така че интегралната форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Може да се изрази като:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Имайте предвид, чеЕ.тъй като електрическото поле е заменено с проста величина, защото полето от точков заряд просто ще се разпространи еднакво във всички посоки от източника. Сега, разделяйки на повърхността на сферата, се получава:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Тъй като силата е свързана с електрическото поле отЕ. = F/q, къдетоqе тест заряд,F = qE, и така:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Където абонаментите са добавени, за да се разграничат двете такси. Това е законът на Кулон, заявен в стандартна форма, показан като проста последица от закона на Гаус.
Примери за уравнения на Максуел: Законът на Фарадей
Законът на Фарадей ви позволява да изчислите електродвижещата сила в жична верига, получена от променящото се магнитно поле. Един прост пример е верига от тел, с радиусr= 20 cm, в магнитно поле, което се увеличава по магнитуд отБ.i = 1 T доБ.е = 10 T в пространството на ∆T= 5 s - каква е индуцираната ЕМП в този случай? Интегралната форма на закона включва поток:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
което се определя като:
ϕ = BA \ cos (θ)
Ключовата част на проблема тук е намирането на скоростта на промяна на потока, но тъй като проблемът е доста ясен, можете да замените частичната производна с проста „промяна“ във всяко количество. И интегралът всъщност означава само електромоторната сила, така че можете да пренапишете закона за индукция на Фарадей като:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Ако приемем, че контурът на проводника е нормално подравнен с магнитното поле,θ= 0 ° и така cos (θ) = 1. Това оставя:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
След това проблемът може да бъде решен чрез намиране на разликата между началното и крайното магнитно поле и площта на контура, както следва:
\ начало {подравнено} \ текст {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {подравнено}
Това е само малко напрежение, но законът на Фарадей се прилага по същия начин независимо.
Примери за уравнения на Максуел: Законът на Ампер-Максуел
Законът на Ампер-Максуел е последното от уравненията на Максуел, което ще трябва да прилагате редовно. Уравнението се връща към закона на Ампер при липса на променящо се електрическо поле, така че това е най-лесният пример за разглеждане. Можете да го използвате, за да изведете уравнението за магнитно поле, получено от прав проводник, носещ токАз, и този основен пример е достатъчен, за да покаже как се използва уравнението. Пълният закон е:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Но без променящо се електрическо поле то намалява до:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Сега, както при закона на Гаус, ако изберете кръг за повърхността, центриран върху веригата от жица, интуицията предполага, че полученото магнитно поле ще бъде симетрична и така можете да замените интеграла с просто произведение на обиколката на контура и силата на магнитното поле, напускане:
B × 2πr = μ_0 I
Разделяйки се на 2πrдава:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Който е приетият израз за магнитното поле на разстояниеrв резултат на прав проводник, носещ ток.
Електромагнитни вълни
Когато Максуел събра своя набор от уравнения, той започна да намира решения за тях, за да обясни различни явления в реалния свят и прозрението, което той даде на светлината, е един от най-важните резултати той получени.
Защото променящото се електрическо поле генерира магнитно поле (по закона на Ампера) и променящото се магнитно поле генерира електрическо поле (по закона на Фарадей), Максуел разработва, че може да бъде саморазпространяваща се електромагнитна вълна възможен. Той използва своите уравнения, за да намери вълновото уравнение, което да опише такава вълна, и определи, че тя ще се движи със скоростта на светлината. Това беше някакъв момент на „еврика“; той осъзна, че светлината е форма на електромагнитно излъчване, работеща точно като полето, което си е представял!
Електромагнитната вълна се състои от вълна от електрическо поле и вълна от магнитно поле, осцилиращи напред и назад, подравнени под прав ъгъл един към друг. Трептенето на електрическата част на вълната генерира магнитно поле, а трептенето на тази част от своя страна създава отново електрическо поле, непрекъснато, докато пътува през пространството.
Както всяка друга вълна, електромагнитната вълна има честота и дължина на вълната и произведението от тях винаги е равно на° С, скоростта на светлината. Електромагнитните вълни са навсякъде около нас и освен видимата светлина, други дължини на вълните обикновено се наричат радиовълни, микровълни, инфрачервени лъчи, ултравиолетови лъчи, рентгенови лъчи и гама лъчи. Всички тези форми на електромагнитно излъчване имат същата основна форма, както е обяснено от уравненията на Максуел, но техните енергии варират в зависимост от честотата (т.е. по-висока честота означава по-висока енергия).
Така че, за физик, Максуел каза: „Нека бъде светлина!“