За да конструирате вектор, който е перпендикулярен на друг даден вектор, можете да използвате техники, базирани на точков продукт и кръстосан продукт на вектори. Точковото произведение на векторите A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3) е равно на сумата от произведенията на съответните компоненти: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Ако два вектора са перпендикулярни, то точковото им произведение е равно на нула. Определеното кръстосано произведение на два вектора е A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Напречното произведение на два непаралелни вектора е вектор, който е перпендикулярен и на двамата.
Запишете хипотетичен, неизвестен вектор V = (v1, v2).
Изчислете точковото произведение на този вектор и дадения вектор. Ако ви е дадено U = (-3,10), то точковото произведение е V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Задайте точковото произведение равно на 0 и решете за един неизвестен компонент по отношение на другия: v2 = (3/10) v1.
Изберете всяка стойност за v1. Например нека v1 = 1.
Решаване за v2: v2 = 0,3. Векторът V = (1,0,3) е перпендикулярен на U = (-3,10). Ако изберете v1 = -1, ще получите вектора V ’= (-1, -0,3), който сочи в обратната посока на първото решение. Това са единствените две посоки в двумерната равнина, перпендикулярна на дадения вектор. Можете да мащабирате новия вектор до каквато величина искате. Например, за да го направите единичен вектор с величина 1, бихте конструирали W = V / (величина на v) = V / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0.3 / sqrt (10).
Изберете произволен вектор, който не е успореден на дадения вектор. Ако вектор Y е успореден на вектор X, тогава Y = a * X за някаква ненулева константа a. За улеснение използвайте един от векторите за единица базис, като X = (1, 0, 0).
Изчислете кръстосаното произведение на X и U, като използвате U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Проверете дали W е перпендикулярна на U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Използването на Y = (0, 1, 0) или Z = (0, 0, 1) ще даде различни перпендикулярни вектори. Всички те ще лежат в равнината, определена от уравнението 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.