В геометрията осмоъгълникът е многоъгълник с осем страни. Правилният осмоъгълник има осем равни страни и равни ъгли. Редовният осмоъгълник се разпознава от знаците за спиране. Октаедърът е осемстранен многоъгълник. Правилен октаедър има осем триъгълника с ръбове с еднаква дължина. На практика това са две квадратни пирамиди, срещащи се в техните бази.
Формула за площ на октагон
Формулата за площта на правилен осмоъгълник със страни с дължина "a" е 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, където "sqrt" означава квадратния корен.
Деривация
Октагон може да се разглежда като 4 правоъгълника, един квадрат в центъра и четири равнобедрени триъгълника в ъглите.
Квадратът е с площ a ^ 2.
Триъгълниците имат страни a, a / sqrt (2) и a / sqrt (2), според теоремата на Питагор. Следователно, всеки има площ от ^ 2/4.
Правоъгълниците са с площ a * a / sqrt (2).
Сумата от тези 9 области е 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Формула за обем на октаедър
Формулата за обема на правилен октаедър на страни "а" е ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Деривация
Площта на четиристранната пирамида е площ на основата * височина / 3. Следователно площта на правилния осмоъгълник е 2 * основа * височина / 3.
База = a ^ 2 тривиално.
Изберете два съседни върха, кажете "F" и "C." "O" е в центъра. FOC е равнобедрен правоъгълен триъгълник с основа "a", така че OC и OF имат дължина a / sqrt (2) по теоремата на Питагор. Така че височина = a / sqrt (2).
Така че обемът на обикновения октаедър е 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Площ
Повърхността на правилния октаедър е площта на равностранен триъгълник от страна "а" по 8 лица.
За да използвате теоремата на Питагор, пуснете линия от върха към основата. Това създава два правоъгълни триъгълника с хипотенуза с дължина "a" и една страна с дължина "a / 2". Следователно третата страна трябва да бъде sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Така че площта на равностранен триъгълник е височина * основа / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
С 8 страни, повърхността на правилния октаедър е 2 * sqrt (3) * a ^ 2.