Със Супербоула, който е точно зад ъгъла, спортистите и феновете по света са съсредоточени здраво върху голямата игра. Но за _math_letes, голямата игра може да ви напомни малък проблем, свързан с възможните резултати във футболна игра. Само с ограничени опции за количеството точки, които можете да спечелите, някои суми просто не могат да бъдат достигнати, но кое е най-високото? Ако искате да знаете какво свързва монети, футбол и пилешки хапки McDonald’s, това е проблем за вас.
Проблемът за математиката на Super Bowl
Проблемът включва възможните резултати, които Лос Анджелис Рамс или Ню Ингланд Патриоти биха могли да постигнат в неделя без безопасност или преобразуване в две точки. С други думи, допустимите начини за увеличаване на резултатите им са 3-точкови полеви цели и 7-точкови тъчдауни. Така че, без гаранции, не можете да постигнете резултат от 2 точки в игра с комбинация от 3s и 7s. По същия начин нито вие не можете да постигнете резултат 4, нито 5.
Въпросът е: Кой е най-високият резултат не може да се постигне само с 3-точкови полеви цели и 7-точков тъчдаун?
Разбира се, тъчдауните без реализация струват 6, но тъй като така или иначе можете да стигнете до това с две полеви цели, това няма значение за проблема. Освен това, тъй като тук се занимаваме с математика, не е нужно да се притеснявате за тактиката на конкретния отбор или дори за каквито и да е ограничения за способността им да печелят точки.
Опитайте се да разрешите това сами, преди да продължите напред!
Намиране на решение (бавният път)
Този проблем има някои сложни математически решения (вижте Ресурси за пълни подробности, но основният резултат ще бъде представен по-долу), но това е добър пример как това не е необходими за да намерите отговора.
Всичко, което трябва да направите, за да намерите решение за груба сила, е просто да опитате всеки от резултатите на свой ред. Знаем, че не можете да отбележите 1 или 2, защото те са по-малко от 3. Вече установихме, че 4 и 5 не са възможни, но 6 е, с две полеви цели. След 7 (което е възможно), можете ли да вкарате 8? Не. Три гола на полето дават 9, а гол на поле и преобразуван тъчдаун правят 10. Но не можете да получите 11.
От този момент нататък, малка работа показва, че:
\ начало {подравнено} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ край {подравнено}
И всъщност можете да продължите така, колкото искате. Отговорът изглежда е 11. Но нали?
Алгебричното решение
Математиците наричат тези проблеми „проблеми на монетите на Фробениус“. Оригиналната форма, свързана с монети, като например: Ако имате само монети, оценени 4 цента и 11 цента (не истински монети, но отново това са математически проблеми за вас), каква е най-голямата сума пари, която не бихте могли произвеждат.
Решението, по отношение на алгебра, е това с един резултат стр точки и една оценка на стойност q точки, най-високият резултат, който не можете да получите (н) се дава от:
N = pq \; - \; (p + q)
Така че включването на стойностите от проблема със Super Bowl дава:
\ начало {подравнено} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ край {подравнено}
Който е отговорът, който получихме по бавния път. И какво, ако можете да вкарате само тъчдауни без преобразуване (6 точки) и тъчдауни с преобразуване в една точка (7 точки)? Вижте дали можете да използвате формулата, за да я изработите, преди да прочетете.
В този случай формулата става:
\ начало {подравнено} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ край {подравнено}
Проблемът с пилето McNugget
Така че играта приключи и вие искате да възнаградите печелившия отбор с пътуване до Макдоналдс. Но те продават McNuggets само в кутии от 9 или 20. И така, кой е най-големият брой хапки ви не може да купувате с тези (остарели) номера на кутиите? Опитайте се да използвате формулата, за да намерите отговора, преди да прочетете.
От
N = pq \; - \; (p + q)
И със стр = 9 и q = 20:
\ начало {подравнено} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ край {подравнено}
Така че при условие, че сте закупили повече от 151 къса - отборът победител вероятно ще бъде доста гладен, в края на краищата - можете да си купите произволен брой късчета, които искате, с някаква комбинация от кутии.
Може би се чудите защо сме обхванали само двуцифрени версии на този проблем. Ами ако включим обезпечения или ако McDonalds продаде три размера самородни кутии? Има няма ясна формула в този случай и въпреки че повечето негови версии могат да бъдат решени, някои аспекти на въпроса са напълно нерешени.
Така че може би, когато гледате играта или ядете парченца пиле с големината на хапка, можете да твърдите, че се опитвате да разрешите отворен проблем по математика - струва си да опитате да се измъкнете от задълженията!