Представете си, че разполагате с оръдие и се стремите да разбиете стените на вражески замък, за да може армията ви да нахлуе и да претендира за победа. Ако знаете колко бързо се движи топката, когато напусне оръдието, и знаете колко далеч са стените, под какъв ъгъл на изстрелване трябва да изстреляте оръдието, за да ударите успешно стените?
Това е пример за задача за движение на снаряда и можете да разрешите този и много подобни проблеми, използвайки уравненията за постоянно ускорение на кинематиката и някои основни алгебри.
Движение на снарядае как физиците описват двумерно движение, при което единственото ускорение, което изпитва въпросният обект, е постоянното ускорение надолу поради гравитацията.
На повърхността на Земята постоянното ускорениеае равно наж= 9,8 m / s2, и обект, подложен на движение на снаряд, е всвободно паданес това като единствен източник на ускорение. В повечето случаи той ще поеме по пътя на парабола, така че движението ще има както хоризонтален, така и вертикален компонент. Въпреки че би имал (ограничен) ефект в реалния живот, за щастие повечето проблеми с движението на снаряди по физика в гимназията игнорират ефекта на въздушното съпротивление.
Можете да решите проблеми с движението на снаряда, като използвате стойността нажи някои други основни сведения за ситуацията, като началната скорост на снаряда и посоката, в която се движи. Да се научиш да решаваш тези проблеми е от съществено значение за преминаването на повечето уводни часове по физика и те запознава с най-важните концепции и техники, от които ще се нуждаеш и в следващите курсове.
Уравнения за движение на снаряда
Уравненията за движение на снаряда са уравнения за постоянно ускорение от кинематиката, защото ускорението на гравитацията е единственият източник на ускорение, който трябва да имате предвид. Четирите основни уравнения, от които се нуждаете, за да разрешите всеки проблем с движението на снаряда, са:
v = v_0 + при \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} при ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2ас
Тук,vозначава скорост,v0 е началната скорост,ае ускорение (което е равно на ускорението надолу нажвъв всички проблеми с движението на снаряда),се изместването (от първоначалното положение) и както винаги имате време,T.
Тези технически уравнения са технически само за едно измерение и наистина биха могли да бъдат представени от векторни величини (включително скоростv, начална скоростv0 и така нататък), но на практика можете просто да използвате тези версии поотделно, веднъж вх-посока и веднъж ву-насочване (и ако някога сте имали триизмерен проблем, вz-насока също).
Важно е да запомните, че това саизползва се само за постоянно ускорение, което ги прави идеални за описване на ситуации, при които влиянието на гравитацията е единственото ускорение, но неподходящо за много реални ситуации, в които трябва да има допълнителни сили разглеждан.
За основни ситуации това е всичко, което ще ви трябва, за да опишете движението на обект, но ако е необходимо, можете да включите и друго фактори, като височината, от която е изстрелян снарядът, или дори ги решава за най-високата точка на снаряда върху него път.
Решаване на проблеми с движението на снаряди
След като видяхте четирите версии на формулата за движение на снаряда, за които ще трябва да използвате решаване на проблеми, можете да започнете да мислите за стратегията, която използвате за решаване на движение на снаряд проблем.
Основният подход е разделянето на проблема на две части: една за хоризонталното движение и една за вертикалното движение. Това технически се нарича хоризонтален компонент и вертикален компонент и всеки има съответния набор от количества, като хоризонтална скорост, вертикална скорост, хоризонтално изместване, вертикално изместване и скоро.
С този подход можете да използвате уравненията на кинематиката, отбелязвайки това времеTе еднакъв както за хоризонтални, така и за вертикални компоненти, но неща като началната скорост ще имат различни компоненти за първоначалната вертикална скорост и началната хоризонтална скорост.
Решаващото нещо, което трябва да се разбере е, че за двумерно движение,всякаквиъгълът на движение може да бъде разделен на хоризонтален компонент и вертикален компонент, но когато ако направите това, ще има една хоризонтална версия на въпросното уравнение и една вертикална версия.
Пренебрегването на ефектите от въздушното съпротивление значително опростява проблемите с движението на снаряда, защото хоризонталната посока никога няма такива ускорение при проблем с движение на снаряда (свободно падане), тъй като влиянието на гравитацията действа само вертикално (т.е. към повърхността на Земята).
Това означава, че хоризонталният компонент на скоростта е просто постоянна скорост и движението спира само когато гравитацията свали снаряда на нивото на земята. Това може да се използва за определяне на времето на полета, защото зависи изцяло оту-посочно движение и може да се разработи изцяло въз основа на вертикалното изместване (т.е. времетоTкогато вертикалното изместване е нула, ви казва времето на полета).
Тригонометрия в проблемите на движението на снаряда
Ако въпросният проблем ви дава ъгъл на стартиране и начална скорост, ще трябва да използвате тригонометрия, за да намерите хоризонталните и вертикалните компоненти на скоростта. След като направите това, можете да използвате методите, описани в предишния раздел, за да решите действително проблема.
По същество създавате правоъгълен триъгълник с наклонена хипотенуза под ъгъла на изстрелване (θ) и големината на скоростта като дължина, а след това съседната страна е хоризонталният компонент на скоростта, а противоположната страна е вертикалната скорост.
Начертайте правоъгълния триъгълник според указанията и ще видите, че намирате хоризонталните и вертикалните компоненти, като използвате тригонометричните идентичности:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {съседен}} {\ text {хипотенуза}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {отсреща}} {\ text {хипотенуза}}
Така те могат да бъдат пренаредени (и с обратното =vу и съседни =vх, т.е. вертикалната компонента на скоростта и съответно хоризонталната компонента на скоростта, и хипотенуза =v0, началната скорост), за да даде:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Това е цялата тригонометрия, която ще трябва да направите, за да решите проблемите с движението на снаряда: включване на ъгъла на изстрелване в уравнение, използвайки функциите синус и косинус на вашия калкулатор и умножавайки резултата по началната скорост на снаряд.
Така че, за да преминем през пример за това, с начална скорост 20 m / s и ъгъл на стартиране 60 градуса, компонентите са:
\ начало {подравнено} v_x & = 20 \; \ текст {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ текст {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ текст {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ текст {m / s} \ край {подравнено}
Примерен проблем с движението на снаряд: експлодираща фойерверка
Представете си, че фойерверкът има предпазител, проектиран така, че да експлодира в най-високата точка на своята траектория, и се изстрелва с първоначална скорост 60 m / s под ъгъл от 70 градуса спрямо хоризонталата.
Как бихте разбрали каква височиназексплодира при? И какво би било времето от изстрелването, когато експлодира?
Това е един от многото проблеми, които включват максималната височина на снаряд и трикът за решаването им е да се отбележи, че при максималната височина,у-компонентът на скоростта е 0 m / s за миг. Чрез включване на тази стойност заvу и като изберете най-подходящото от кинематичните уравнения, можете лесно да се справите с този и всеки подобен проблем.
Първо, разглеждайки кинематичните уравнения, това изскача (с добавени индекси, които показват, че работим във вертикална посока):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Това уравнение е идеално, защото вече знаете ускорението (ау = -ж), първоначалната скорост и ъгъла на изстрелване (за да можете да изработите вертикалния компонентvy0). Тъй като търсим стойността насу (т.е. височинатаз) когаvу = 0, можем да заместим нулата за крайния вертикален компонент на скоростта и да го пренаредимсу:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Тъй като има смисъл да се извика посоката нагореу, а от ускорението поради гравитациятаже насочена надолу (т.е. в -упосока), можем да променимау за -ж. И накрая, обажданесу височинатаз, можем да напишем:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Така че единственото нещо, което трябва да разработите, за да разрешите проблема, е вертикалният компонент на началната скорост, който можете да направите, като използвате тригонометричния подход от предишния раздел. Така че с информацията от въпроса (60 m / s и 70 градуса до хоризонталното изстрелване), това дава:
\ begin {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
Сега можете да решите за максималната височина:
\ начало {подравнено} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {align}
Така фойерверките ще експлодират на около 162 метра от земята.
Продължаване на примера: Време на полет и изминато разстояние
След решаването на основите на задачата за движение на снаряда, базирана чисто на вертикалното движение, останалата част от задачата може да бъде решена лесно. На първо място, времето от изстрелването на взривателя на предпазителя може да бъде намерено с помощта на едно от другите уравнения с постоянно ускорение. Разглеждайки опциите, има следния израз:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
има времеT, което е това, което искате да знаете; изместването, което знаете за максималната точка на полета; началната вертикална скорост; и скоростта в момента на максималната височина (която знаем, че е нула). Така че въз основа на това уравнението може да бъде пренаредено, за да даде израз за времето на полета:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Така че вмъкнете стойностите и решете заTдава:
\ начало {подравнено} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ текст {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {подравнен}
Така фойерверкът ще експлодира 5.75 секунди след старта.
И накрая, можете лесно да определите изминатото хоризонтално разстояние въз основа на първото уравнение, което (в хоризонтална посока) гласи:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Въпреки това, отбелязвайки, че няма ускорение вх-дирекция, това е просто:
v_x = v_ {0x}
Означава, че скоростта вхпосоката е една и съща през цялото пътуване на фойерверките. Като се има предвид товаv = д/T, къдетоде изминатото разстояние, лесно е да се види товад = vt, и така в този случай (ссх = д):
s_x = v_ {0x} t
Така че можете да заменитеv0x с тригонометричния израз от по-рано, въведете стойностите и решете:
\ begin {align} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {align}
Така той ще измине около 118 м преди експлозията.
Допълнителен проблем със движението на снаряда: Фойерверкът Dud
За допълнителен проблем, върху който да работите, представете си фойерверката от предишния пример (стартирана начална скорост от 60 m / s при 70 градуса спрямо хоризонталата) не успя да експлодира на върха на своята парабола и вместо това кацна на земята невзривен. Можете ли да изчислите общото време на полета в този случай? Колко далеч от стартовата площадка в хоризонтална посока ще кацне, или с други думи, какво еобхватна снаряда?
Този проблем работи по същество по същия начин, където са вертикалните компоненти на скоростта и изместването основните неща, които трябва да имате предвид, за да определите времето на полета, и от това можете да определите обхват. Вместо да работите подробно с решението, можете да решите това сами въз основа на предишния пример.
Има формули за обхвата на снаряд, които можете да потърсите или да извлечете от уравненията с постоянно ускорение, но това не е наистина необходим, защото вече знаете максималната височина на снаряда и от този момент това е просто в свободно падане под въздействието на земно притегляне.
Това означава, че можете да определите времето, необходимо на фойерверките, за да падне обратно на земята, и след това да добавите това към времето на полета до максималната височина, за да определите общото време на полета. Оттогава е същият процес на използване на постоянната скорост в хоризонтална посока заедно с времето на полета за определяне на обхвата.
Покажете, че времето на полета е 11,5 секунди, а обхватът е 236 м, като отбелязвате, че ще трябва изчислете вертикалния компонент на скоростта в точката, в която тя се удари в земята като междинен продукт стъпка.