Физиците сравняват инерционните моменти за въртящи се обекти, за да определят кои от тях ще бъдат по-трудни за ускоряване или забавяне. Това се отнася за ситуации от реалния свят, като например да разберем кои обекти ще се търкалят най-бързо в състезанието.
Факторите, които променят момента на инерция на даден обект, са неговата маса, как тази маса се разпределя - определя се от формата и радиуса му - и оста на въртене, по която се върти.
Моменти на инерция за общи предмети
Тази диаграма показва уравненията на момента на инерция за няколко често срещани форми, въртящи се около различни оси на въртене.
Сравняване на моменти на инерция
Ето някои примери за физически проблеми, които изискват използване на моменти на инерция за сравняване на различни обекти.
1. Кое от следните ще бъде най-лесно да започне да се върти: 7-килограмова куха сфера с радиус 0,2 м или 10-килограмова твърда сфера със същия радиус?
Започнете с намирането на моментите на инерция за всеки обект. Според таблицата уравнението за aкуха сферае:I = 2 / 3mr2, и уравнението за aтвърда сфераеI = 2 / 5mr2.
Заместване на дадените маси и радиуси:
Куха сфера: I = 2/3 (7 кг) (0,2 м)2 = 0.19 кгм2
Твърдо сфера: I = 2/5 (10 кг) (0,2 м)2 = 0.16 кгм2
Моментът на инерция епо-малък за твърдата сфера, така ще бъденай-лесно да започнете да се въртите.
2. По какъв начин е най-трудно да завъртите молив: около дължината му, около центъра му или края над края? Да приемем, че моливът има дължина 10 cm (0,1 m) и радиус на напречното сечение 3 mm (0,003 m).
В този случай масата на молива няма значение при сравнението, тъй като не се променя.
За да определите кои уравнения се прилагат, приближете формата на молив като цилиндър.
След това трите необходими момента на уравненията на инерцията са:
Цилиндър за дължината му(оста преминава през цялото нещо, от върха до гумата, така радиусът до оста на въртенеенеговия радиус на напречно сечение):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Цилиндър около центъра му(задържа се в средата, така че радиусът на въртенето му еполовината от дължината му):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Цилиндър около края му(задържано от върха или гумата, така че радиусът е към оста на въртенеенеговата дължина):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Колкото по-висок е моментът на инерция на обекта, толкова по-трудно е да започне (или да спре) въртенето му.Тъй като всяка стойност се умножава по една и същам, колкото по-голяма е стойността на фракцията, умножена по r2, толкова по-висок ще бъде моментът на инерция. В този случай 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, така епо-трудно да завъртите молив около края муотколкото около другите две оси.
3. Кой обект ще достигне първо дъното на рампа, ако всички те имат еднаква маса и радиус и всички са освободени едновременно отгоре: обръч, цилиндър или плътна сфера? Игнорирайте триенето.
Ключът към отговора на този проблем е прилагането на разбиране зазапазване на енергията. Ако всички обекти имат еднаква маса и започват на една и съща височина, те трябва да започнат със същото количествогравитационна потенциална енергия. Това еобща енергияте могат да се преобразуват в кинетична енергия и да се придвижат надолу по рампата.
Тъй като обектите ще се търкалят надолу по рампата, те трябва да преобразуват първоначалната си потенциална енергия и в дветеротационни и линейни кинетични енергии.
Ето уловката: колкото повече енергия от този общ пай отвежда обектазапочнете да се въртите, толкова по-малко ще има на разположение залинейно движение. Това означаваколкото по-лесно е да се търкаля обект, толкова по-бързо ще се движи линейно надолу по рампата, печелейки състезанието.
Тогава, тъй като всички маси и радиуси са еднакви, простото сравняване на фракциите пред всеки момент на инерционно уравнение разкрива отговора:
Твърда сфера: I =2/5г-н2
Обръч около ос: I = г-н2
Плътен цилиндър за дължината му: I =1/2г-н2
От най-малкия до най-големия момент на инерция и по този начинпърви до последния, за да достигне дъното: сфера, цилиндър, обръч.