Разпределение на Максуел-Болцман: Функция, извеждане и примери

Описването на случващото се с много малки частици е предизвикателство във физиката. Не само размерът им е труден за работа, но в повечето ежедневни приложения нямате работа с една частица, но безброй много от тях взаимодействат помежду си.

В рамките на едно твърдо вещество частиците не се движат една срещу друга, а вместо това са доста заседнали на място. Твърдите вещества обаче могат да се разширяват и свиват с температурни вариации и понякога дори претърпяват интересни промени в кристални структури в определени ситуации.

В течностите частиците са свободни да се движат една след друга. Учените обаче не са склонни да изследват течности, като се опитват да следят какво прави всяка отделна молекула. Вместо това те разглеждат по-големи свойства на цялото, като вискозитет, плътност и налягане.

Точно както при течностите, частиците в даден газ също могат свободно да се движат една над друга. Всъщност газовете могат да претърпят драстични промени в обема поради разликите в температурата и налягането.

Отново няма смисъл да се изследва газ, като се следи какво прави всяка отделна молекула газ, дори при термично равновесие. Не би било осъществимо, особено когато смятате, че дори в пространството на празна чаша за пиене има около 10²² въздушни молекули. Дори няма достатъчно мощен компютър, който да изпълнява симулация на толкова много взаимодействащи молекули. Вместо това учените използват макроскопични свойства като налягане, обем и температура, за да изследват газовете и да правят точни прогнози.

Видът газ, който е най-лесен за анализ, е идеален газ. Той е идеален, защото позволява определени опростявания, които правят физиката много по-лесна за разбиране. Много газове при стандартни температури и налягания действат приблизително като идеални газове, което прави изследването и на тях полезно.

В идеалния газ се предполага, че самите молекули на газ се сблъскват при съвършено еластични сблъсъци, така че не е нужно да се притеснявате за промяна на формата на енергия в резултат на такива сблъсъци. Също така се предполага, че молекулите са много отдалечени една от друга, което по същество означава не трябва да се притеснявате, че ще се бият помежду си за пространство и може да се отнасяте към тях като към точка частици. Идеалните газове също не са твърде горещи и не са твърде студени, така че не е нужно да се тревожите за ефекти като йонизация или квантови ефекти.

Оттук нататък газовите частици могат да бъдат третирани като малки точкови частици, които се подскачат в контейнера им. Но дори и с това опростяване, все още не е възможно да се разберат газовете, като се проследи какво прави всяка отделна частица. Това обаче позволява на учените да разработят математически модели, които описват връзките между макроскопичните величини.

Законът за идеалния газ свързва налягането, обема и температурата на идеалния газ. НаляганетоPна газ е силата на единица площ, която той упражнява върху стените на контейнера, в който се намира. Единицата за налягане SI е паскалът (Pa), където 1Pa = 1N / m². ОбемътVот газа е количеството пространство, което заема в SI единици m³. И температуратаTна газа е мярка за средната кинетична енергия на молекула, измерена в SI единици на Келвин.

Уравнението, описващо закона за идеалния газ, може да бъде написано по следния начин:

Къдетоне брой молекули или брой частици и константата на Болцманк​ = 1.38064852×10^-23 кгм²/с²К.

Еквивалентна формулировка на този закон е:

Къдетоне броят на бенките и универсалната газова константаR= 8,3145 J / molK.

Тези два израза са еквивалентни. Коя от тях ще изберете просто зависи от това дали измервате броя на молекулите си в молове или в броя на молекулите.

• 1 мол = 6,022 × 10²³ молекули, което е числото на Авогадро.

След като даден газ е приближен като идеален, можете да направите допълнително опростяване. Тоест, вместо да разглеждат точната физика на всяка молекула - което би било невъзможно поради огромния им брой - те се третират така, сякаш движенията им са произволни. Поради това може да се приложи статистика, за да се разбере какво се случва.

През 19-ти век физиците Джеймс Клерк Максуел и Лудвиг Болцман развиват кинетичната теория на газовете въз основа на описаните опростявания.

Класически всяка молекула в даден газ може да има приписана му кинетична енергия под формата:

Не всяка молекула в газа обаче има еднаква кинетична енергия, тъй като те постоянно се сблъскват. Точното разпределение на кинетичните енергии на молекулите е дадено от разпределението на Максуел-Болцман.

Статистиката на Максуел-Болцман описва разпределението на молекулите на идеалния газ в различни енергийни състояния. Функцията, която описва това разпределение, е както следва:

КъдетоAе нормализационна константа,Е.е енергия,ке константата на Болцман иTе температурата.

Допълнителни предположения, направени за получаване на тази функция, са, че поради тяхната природа на точкови частици, няма ограничение за това колко частици могат да заемат дадено състояние. Също така разпределението на частиците между енергийните състояния задължително отнема най-вероятното разпределение (с по-голям брой частици, шансът газът да не е близо до това разпределение става все по-голям малък). И накрая, всички енергийни състояния са еднакво вероятни.

Тези статистически данни работят, защото е изключително малко вероятно дадена частица да се окаже с енергия значително над средната. Ако го направи, това ще остави много по-малко начини за разпределяне на останалата част от цялата енергия. Това се свежда до игра с числа - тъй като има много повече енергийни състояния, които нямат частица далеч над средното, вероятността системата да бъде в такова състояние е изчезващо малка.

Обаче енергиите, по-ниски от средните, са по-вероятни, отново поради начина, по който се играят вероятностите. Тъй като всяко движение се счита за случайно и има по-голям брой начини частицата да попадне в ниско енергийно състояние, тези състояния са предпочитани.

Разпределението на Максуел-Болцман е разпределението на скоростите на идеалните частици газ. Тази функция за разпределение на скоростта може да се извлече от статистиката на Максуел-Болцман и да се използва за определяне на връзките между налягане, обем и температура.

Разпределението на скоросттаvсе дава със следната формула:

Къдетоме масата на молекулата.

Свързаната крива на разпределение, с функцията за разпределение на скоростта нау-ос и молекулната скорост нах-ос, изглежда приблизително като асиметрична нормална крива с по-дълга опашка вдясно. Той има пикова стойност при най-вероятната скоростv_стр, и средна скорост, дадена от:

Обърнете внимание и на това как има дълга тясна опашка. Кривата се променя леко при различни температури, като дългата опашка става „по-дебела“ при по-високи температури.

Използвайте връзката:

КъдетоЕ._инте вътрешната енергия,KE​_​ср​ е средната кинетична енергия на молекула от разпределението на Максуел-Болцман. Заедно със закона за идеалния газ е възможно да се получи връзка между налягането и обема по отношение на молекулярното движение: