Ъглов инерция: дефиниция, уравнение, единици (с диаграми и примери)

Помислете за сцената: Вие и ваш приятел, поради проблеми извън вашия контрол, стоите на върха на дълга, наклонена надолу рампа. На всеки от вас е дадена топка с радиус точно 1 м. Казали са ви, че вашият е направен от еднороден, подобен на пяна материал и има маса 5 кг. Топката на приятеля ви също има маса от 5 кг, която проверявате с удобна везна.

Приятелят ви иска да се обзаложи, че ако пуснете двете топки едновременно, вашата първа ще стигне до дъното. Изкушавате се да твърдите, че тъй като топките имат еднаква маса и един и същ радиус (а оттам и обем), те ще бъдат ускорени от гравитацията надолу по рампата с еднаква скорост през цялото спускане. Но нещо спира "инерцията" на залагането ви и вие не залагате ...

... разумно, както се оказва. Въпреки че в началото няма смисъл, топката на приятеля ви, като че ли е ваш близнак, се движи по рампата по-бавно от вашата. След като експериментът приключи, вие изисквате топките да бъдат демонтирани и изследвани за признаци на измама. Вместо това всичко, което откривате, е, че 5-те килограма маса в топката на вашия приятел са били ограничени до тънка обвивка около външната страна, с вътрешна куха.

Ами гореописаната конфигурация накланя стойността на v в полза на вашата топка? Както се случва, точно кактосилисменетелинеен импулсна обекти слинейна скорост​, ​въртящи моментисменетеъглов моментна обекти съглова скорост​.

Твърдият търкалящ се обект има както линеен импулс, така и ъглов импулс, защото тъй като неговият център на масата се движи с постоянна скорост v (равна до тангенциалната скорост на топката или колелото), всяка друга част от обекта се върти около този център на масата с ъглова скорост ω.

Начинът, по който масата е разпределена в даден обект, няма отношение към линейния импулс, но определя ъгловия им импулс изящно. Това се прави чрез "подобна на маса" (за ротационни цели) величина, наречена момент на инерция, по-високи стойности на което предполага както по-голяма трудност при получаване на нещо, което се върти, така и по-трудно спиране, след като вече е въртящи се.

Ъгловият импулс е мярка за това колко трудно е да се промени ротационното движение на обекта. Зависи от момента на инерция на обекта и неговата ъглова скорост. Ъгловият импулс е запазена величина, което означава, че сумата от ъгловите импулси на частиците в затворена система винаги е една и съща, дори тази на отделните частици може да варира.

Както бе отбелязано, ъгловият импулс също е функция от разпределението на масата около ос. За да придобиете интуитивно усещане за това, представете си, че стоите на 1 метър от центъра на огромна въртележка, която прави по една революция на всеки 10 секунди. Сега си представете, че сте на една и съща контракция със същата ъглова скорост, докато стоите 1миляот центъра. Не е необходимо много въображение, за да се разбере разликата в ъгловия момент в тези два сценария.

​Ъгловият импулс е произведение на момента на инерцията, умножен по ъгловата му скорост, или:
​

къдетоL= ъглов момент в kg ∙ m²/s,Аз= момент на инерция в kg ∙ m²и ω = ъглова скорост в радиани в секунда (rad / s).

• ​Азсе нарича още втори момент на площ.

Обърнете внимание, че дискусията се е разширила от точкова маса до твърдо тяло, като цилиндър или сфера, въртящо се около оста. Центърът на масата на даден обект често не е в неговиягеометричницентър, така че стойностите наАззависят от това как се разпределя масата на обекта. Често това е симетрично, но не е еднородно, като кух диск с цялата си маса в тънка ивица отвън (с други думи, пръстен).

Векторът на ъгловия импулс сочи по оста на въртене, перпендикулярно на равнината, образувана отr, кръговото "размахване" на която и да е точка в обекта през пространството.

Референтна диаграма за стойността наАзза различни често срещани форми се намира в Ресурсите. Използвайте ги, за да започнете с няколко основни проблема с ъгловия момент.

• Забележи, чеАзза сферична обвивка е (2/3) mr² докато тази на сфера е (2/5) г-н². Връщайки се към залагането във въведението, вече можете да видите, че топката на вашия приятел има (2/3) / (2/5) = 1,67 пъти инерционния момент като ваш собствен, обяснявайки, че вашият спечели "състезанието".

1. Диск с ротационна инерцияАзот 1,5 kg ∙ m²/ s се върти около ос с ъглова скоростωот 8 рад / с. Какъв е ъгловият му импулсL​?

2. Тънка пръчка с дължина 15 м с маса 5 кг - да кажем, стрелката на масивен часовник - се върти около точка, фиксирана в единия край с ъглова скоростωот 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Какъв е ъгловият импулсL​?

Този път трябва да потърсите стойността наАз. За тънка пръчка, движеща се по този начин,Аз= (1/3) mr²​.

Сравнете това с отговора в първия пример. Това изненадва ли ви? Защо или защо не?

„Опазване“ означава нещо малко по-различно във физиката, отколкото в сферата на екосистемите. Това просто означава, че общото количество запазени количества (енергия, импулс, маса и инерция са "големите четири" запазени количества във физиката) в система, включително Вселената, винаги остава същото. Ако се опитате да "елиминирате" енергията, тя просто се появява в друга форма и всеки опит за "създаване" разчита на вече съществуващ източник.

Законът за запазване на ъгловия импулс гласи, че в затворена система общият ъглов момент не може да се промени. Тъй като ъгловият импулс зависи от ъгловата скорост и инерционния момент, може да се предскаже как някоя от тези величини трябва да се промени по отношение един на друг в дадена ситуация.

• Формално, тъй като въртящият момент може да бъде изразен катоτ= dL/ dt (скоростта на промяна, ако ъгловият момент с времето), когато сумата на въртящите моменти в системата е нула, тогава dL/ dt също трябва да е нула и няма промяна в ъгловия импулс в системата за времевата рамка, в която системата се оценява. Обратно, ако L не е постоянна, това предполага дисбаланс на въртящите моменти в системата (т.е.,τ_нетоенеравен на нула).

Това е важна концепция в много примери за механика от ежедневието. Класически пример е пързалителят на лед: Когато тя скочи във въздуха, за да направи тройна аксел, тя дърпа здраво крайниците си. Това намалява общия й радиус около оста на въртене, променяйки нейното разпределение на масата, така че нейният инерционен момент да намалее (не забравяйте,Азе пропорционално на mr²​).

Тъй като ъгловият момент се запазва, акоАзнамалява, ъгловата й скорост трябва да се увеличи; по този начин тя се върти достатъчно бързо, за да завърши няколко завъртания във въздуха! Когато кацне, прави обратното - разтваря крайниците си, променяйки разпределението на масата, за да увеличи момента на инерцията си, като на свой ред забавя скоростта на въртене (ъгловата скорост).

Като цяло ъгловият момент на системата е постоянен, но променливите, които определят величината на ъгловия момент, могат да бъдат манипулирани и да имат стратегически ефект, както в този случай.

Започвайки през 1600-те години, Исак Нютон се захваща с революция в математическата физика. След като е измислил съвместно смятане, той е бил в добра позиция да прави официални твърдения за предполагаемо универсалните закони управляващо движението на обекти, както транслационно (линейно и през пространството), така и ротационно (циклично и около ос).

• Различнитезакони за опазванекоито получават достатъчно споменаване по-късно, не са деца на Нютон, но съществуват значителни връзки между тях и законите на движението.

​Първият закон на Нютонзаявява, че обект в покой или движение с постоянна скорост ще остане в това състояние, освен ако върху обекта не действа външна сила. Това се нарича ощезакон на инерцията.​

​Вторият закон на Нютонтвърди, че нетна силаF_нетодейства върху частица с масам, ще има тенденция да променя скоростта или да ускорява тази маса. Тази известна връзка се изразява математически катоF_нето= mа​.

​Третият закон на Нютонказва, че за всяка сила, която съществува в природата, съществува сила, равна по големина, но насочена в точно обратната посока. Този закон има важни последици за запазените свойства на движението, включително ъгловия импулс.

Сега е отличен момент за преглед на същността, правилата и взаимоотношенията между тяхсила​, ​импулс(маса по скорост) иенергия, които информират не само за дискусии за ъгловия импулс, но и за всичко останало в класическата физика.

Както беше отбелязано, освен ако обектът изпитва външна сила (или в случай на въртящ се обект, външен въртящ момент), движението му продължава да бъде незасегнато. На Земята обаче гравитацията почти винаги е в комбинация, както и въздушното съпротивление с по-малък принос и различни видове триене сили, така че нищо просто не продължава да се движи, освен ако от време на време не му се дава енергия, която да замести това, което е „взето“ от тези хронични „движения“ крадци. "

За да опростим, частицата има aобща енергиясъстояща се отвътрешна енергия(напр. вибрацията на неговите молекули) имеханична енергия. Механичната енергия е сумата отпотенциална енергия(PE; "складирана" енергия, обикновено чрез гравитация) икинетична енергия(KE; енергия на движение). Полезно е, че PE + KE + IE = константа за всички системи, било то точкова маса (единична частица) или разнообразие от свистящи, взаимодействащи маси.

Когато чуете термини, свързани с движението, като скорост, ускорение, изместване и импулс, вероятно по подразбиране приемате, че контекстът е линейно движение. Въртящото движение всъщност има свои уникални, но аналогични величини.

Докато линейното изместване се измерва в метри (m) в единици SI, ъгловото изместване се измерва в радиани (2π rad = 360 градуса). Съответно,ъглова скоростсе измерва в rad / s и се представя отω, гръцката буква омега.

Въпреки това, докато точкова маса се движи около оста си на въртене, в допълнение към ъгловата скорост, частицата очертава кръгов път с дадена скорост, подобна на линейното движение. Този процент етангенциална скорост​ ​v_T​​,и е равно на rω,къдетоrе радиусът или разстоянието от оста на въртене.

По този начин,ъглово ускорение​ ​α(Гръцки алфа) е скоростта на промяна на ъгловата скоростωи се измерва в rad / s². Има ицентростремително ускорение​ ​а_{° С}дадена отv_T²/r,който е насочен навътре към оста на въртене.

• Докато се обсъжда ъглов момент, аналогът на mvв линейно изражение, скоро ще бъде дадена обстойна дискусия, знайте, че един от неговите компоненти,Аз, може да се разглежда като ротационен аналог на масата.

Ъгловият импулс, подобно на сила, преместване, скорост и ускорение, е aвекторно количество, тъй като такива променливи включват и aвеличина(т.е. число) и aпосока, често дадени термини на отделните му x-, y- и z-компоненти. Количествата, които съдържат само цифров елемент, като маса, време, енергия и работа, са известни катоскаларни величини​.