Евклидовото разстояние е разстоянието между две точки в евклидовото пространство. Първоначално евклидовото пространство е създадено от гръцкия математик Евклид около 300 г. пр.н.е. за изучаване на връзките между ъгли и разстояния. Тази система на геометрия се използва и до днес и е тази, която учениците от гимназията изучават най-често. Евклидовата геометрия се отнася конкретно за пространства с две и три измерения. Въпреки това, той може лесно да бъде обобщен за по-високи размери.
Изчислете евклидовото разстояние за едно измерение. Разстоянието между две точки в едно измерение е просто абсолютната стойност на разликата между техните координати. Математически това е показано като | p1 - q1 | където p1 е първата координата на първата точка, а q1 е първата координата на втората точка. Използваме абсолютната стойност на тази разлика, тъй като обикновено се счита, че разстоянието има само неотрицателна стойност.
Вземете две точки P и Q в двумерно евклидово пространство. Ще опишем P с координатите (p1, p2) и Q с координатите (q1, q2). Сега изградете линеен сегмент с крайните точки на P и Q. Този отсечка ще образува хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Разширявайки резултатите, получени в стъпка 1, отбелязваме, че дължините на катетите на този триъгълник са дадени от | p1 - q1 | и | p2 - q2 |. След това разстоянието между двете точки ще бъде дадено като дължината на хипотенузата.
Използвайте питагорейската теорема, за да определите дължината на хипотенузата в стъпка 2. Тази теорема гласи, че c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 където c е дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, а a, b са дължините на другите два катета. Това ни дава c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Следователно разстоянието между 2 точки P = (p1, p2) и Q = (q1, q2) в двумерно пространство е ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Разширете резултатите от Стъпка 3 до триизмерно пространство. След това разстоянието между точките P = (p1, p2, p3) и Q = (q1, q2, q3) може да бъде дадено като ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Обобщете решението в стъпка 4 за разстоянието между две точки P = (p1, p2,..., pn) и Q = (q1, q2,..., qn) в n размери. Това общо решение може да се даде като ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).