هل سبق لك أن تساءلت عن مقدار الماء أو القهوة الذي يمكن أن يتناسب مع أحد أكواب المياه البلاستيكية التي لا حصر لها والتي يمكن التخلص منها على ما يبدو ، النوع الذي يكون أضيق في القاعدة منه في الأعلى؟ بمعنى آخر ، تقريبًا كل كوب ورقي أو بلاستيكي أو أي كوب آخر يمكن التخلص منه رأيته أو استخدمته؟ (لكي نكون منصفين ، بعض الأكواب ليس لها جوانب مائلة وبالتالي فهي أسطوانية ، ولكن يبدو أن هذا ينطبق فقط على دائم كؤوس.)
يعتمد نوع الشكل الموصوف أعلاه على أ مخروط، وهي نتيجة خط يجتاح الفضاء ويتتبع مسارًا منحنيًا مثل الدائرة (في أبسط الحالات) أو القطع الناقص. لا يكون الكوب عادةً مدببًا (بعض الأشياء التي تحتوي على حلويات مجمدة) ، لكنها لا تزال "قطعة" من المخروط ، من الناحية الهندسية. هذا يجعل من السهل ، مع الصبر ، العثور على الحجم.
حجم المخروط
صيغة حجم المخروط العادي أو الأيمن (أي المخروط ذو القاعدة الدائرية) هي
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
أين ص هو نصف قطر القاعدة و ح هو ارتفاع المخروط. أيضًا ، نظرًا لأن المخروط الأيمن من الجانب يبدو مثل مثلثين قائم الزاوية مرتبطين معًا ، الطول س من الجانب المنحدر من المخروط له نفس قيمة وتر أحد هذه المثلثات. يتم تقديمه من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس: ص2 + ح2 = ق2، وبالتالي
ق = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
حجم الكوب المدبب: الجزء الأول
لنفترض أن لديك كوبًا عرضه 8 سم (سم) عند القاعدة ، و 10 سم في الأعلى ، و 15 سم في الطول. ما مقدار السائل الذي يمكن أن يحتفظ به بالسنتيمتر3، وتسمى أيضًا المليلتر (مل)؟
تتمثل إحدى طرق التعامل مع هذه المشكلة في رسم مقطع عرضي للكوب ، أي ما يبدو عليه الجانب بعد قصه إلى نصفين متعامدين تمامًا مع مجال رؤيتك. إذا قمت برسم خطوط عمودية لأعلى من النقطتين حيث تلتقي القاعدة بالجوانب لأعلى الكأس ، قمت الآن بتقسيم المقطع العرضي إلى مثلثين قائم بذاته متساويان ومنعكسان و مستطيل. المثلثات لها "أرجل" طويلة بطول 15 سم و "أرجل" قصيرة بطول 1 سم (تقسم الفرق بين عرض القاعدة وعرض القمة).
حجم الكوب المدبب: الجزء الثاني
لاحظ ما يحدث إذا قمت بتمديد جوانب الكوب في الرسم التخطيطي لأسفل إلى نقطة أسفل القاعدة. قم أيضًا بتمديد خط من مركز القمة باتجاه النقطة التي تتقارب فيها هذه الخطوط. (قد لا يكون لديك متسع لجعل الجوانب تلتقي وتشكل مثلثًا مغلقًا ، ولكن عليك الاقتراب قدر الإمكان ،)
نظرًا لمبدأ المثلثات المتشابهة ، فأنت تعلم أن نسبة الساق الطويلة للمثلثات من أعلى (15 سم) إلى تلك الخاصة بالساق الصغيرة (1 سم) أو 15 إلى 1 ، يجب أن تكون هي نفسها نسبة الساق الصغيرة إلى الساق الطويلة لأحد المثلثات المنشأة حديثًا بين قاعدة "الكأس" و هدف. بما أن قيمة الساق الصغيرة 4 سم ، يجب أن تكون الساق الطويلة 15 ضعف هذا ، أو 60 سم.
وبالتالي أنت الآن تتعامل مع المقطع العرضي لمخروط يبلغ إجمالي ارتفاعه 15 + 60 = 75 سم وعرضه 10 سم ، أي نصف قطر يبلغ 5 سم. يعطي حجم هذا المخروط مطروحًا منه حجم المخروط الممتد حتى قاعدة الكأس التي يبلغ ارتفاعها 60 سم وعرضها 8 سم (ص = 4 سم) النتيجة المرجوة:
\ start {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {align}
وهكذا يحمل الكوب الخاص بك ما يقرب من 1 لتر (1000 مل) من السائل.
حجم آلة حاسبة مخروط وكأس
راجع الموارد للحصول على قائمة بالآلات الحاسبة التي تتضمن رموزًا مع إعطاء مجموعات أولية مختلفة من المعلومات. بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام نهج كهذا أعلاه وتقسيم الكوب إلى أشكال مختلفة ، ثم استخدامه أبسط الصيغ (مثل صيغة حجم المكعب) في مجموعات مناسبة لإيجاد الإجمالي أربعة حجمالخامس.