حاصل ضرب كميتين عدديتين هو عدد قياسي ، وحاصل ضرب عددي مع متجه هو متجه ، ولكن ماذا عن حاصل ضرب متجهين؟ هل هو عددي أم ناقل آخر؟ الجواب ، يمكن أن يكون إما!
هناك طريقتان لأخذ منتج متجه. أحدهما عن طريق أخذ حاصل الضرب النقطي ، والذي ينتج عنه مقياسًا ، والآخر بأخذ حاصل الضرب التبادلي ، والذي ينتج متجهًا آخر. يعتمد المنتج الذي يتم استخدامه على السيناريو المحدد والكمية التي تحاول العثور عليها.
ينتج عن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متجه ثالث يشير في الاتجاه العمودي على يمتد المستوي بواسطة المتجهين ، ويعتمد حجمه على العمودية النسبية للاثنين ثلاثة أبعاد.
تعريف الناتج المتقاطع للناقلات
نحدد أولاً الضرب التبادلي لمتجهات الوحدةأنا, يوك(نواقل بحجم 1 تلك النقطة فيس- ، ص-وض- الاتجاهات المكونة لنظام الإحداثيات الديكارتية القياسية) على النحو التالي:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
لاحظ أن هذه العلاقات معادية للتبديل ، أي إذا قمنا بتبديل ترتيب المتجهات التي نأخذ منتجها ، فإنها تقلب علامة المنتج:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
يمكننا استخدام التعريفات أعلاه لاشتقاق صيغة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين ثلاثي الأبعاد. أولاً ، اكتب المتجهاتأوبكما يلي:
\ bold {a} = (a_x، a_y، a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x، b_y، b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
بضرب المتجهين نحصل على:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ غامق {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ مرات i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
بعد ذلك ، باستخدام علاقات متجه الوحدة أعلاه ، يتم تبسيط هذا إلى:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ غامق {k}
(لاحظ أن المصطلحات التي كان حاصل الضرب التبادلي فيها 0 ، هي المصطلحات التي تشكل حاصل الضرب النقطي (ويسمى أيضًا حاصل الضرب القياسي)!هذه ليست مصادفة.)
بعبارات أخرى:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x، c_y، c_z) \ text {where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
يمكن إيجاد حجم حاصل الضرب الاتجاهي باستخدام نظرية فيثاغورس.
يمكن أيضًا التعبير عن صيغة الضرب التبادلي كمحدد للمصفوفة التالية:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ start {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {مصفوفة} \ بيج | \\ = \ كبير | \ ابدأ {مصفوفة} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ start {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ نص {أين المحدد} \ كبير | \ ابدأ {مصفوفة} أ & ب \ ج & د \ نهاية {مصفوفة} \ كبير | = إعلان - قبل الميلاد
صيغة أخرى ، غالبًا ما تكون مريحة للغاية ، للمنتج التقاطع هي (انظر نهاية هذه المقالة للاشتقاق):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ غامق {ب} | \ الخطيئة (θ) \ غامق {n}
أين:
- |أ| هو مقدار (طول) المتجهأ
- |ب| هو مقدار (طول) المتجهب
- θ هي الزاوية الواقعة بين أو ب
- نهل متجه الوحدة عمودي على المستوى الممتد من خلاله أوب
المتجهات العمودية وقاعدة اليد اليمنى
في وصف حاصل الضرب الاتجاهي ، يُذكر أن اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي عمودي على المستوى الممتد بواسطة المتجهأوناقلاتب. لكن هذا يترك احتمالين: قد يشيربعيدا عن المكانالطائرة أوداخلامتدت الطائرة بواسطة تلك النواقل. في الواقع ، يمكننا في الواقع اختيار أي منهما طالما أننا متسقين. الاتجاه المفضل الذي يختاره علماء الرياضيات والعلماء على حد سواء ، ومع ذلك ، يتم تحديده من خلال شيء يسمىحكم اليد اليمنى.
لتحديد اتجاه منتج عرضي متجه باستخدام قاعدة اليد اليمنى ، أشر بإصبع السبابة بيدك اليمنى في اتجاه المتجهأوإصبعك الأوسط في اتجاه المتجهب. ثم يشير إبهامك في اتجاه متجه المنتج المتقاطع.
يصعب أحيانًا تصوير هذه الاتجاهات على قطعة ورق مسطحة ، لذلك غالبًا ما يتم عمل الاصطلاحات التالية:
للإشارة إلى متجه يدخل الصفحة ، نرسم دائرة بداخلها علامة X (فكر في هذا على أنه يمثل ريش الذيل في نهاية السهم وأنت تنظر إليه من الخلف). للإشارة إلى متجه يسير في الاتجاه المعاكس خارج الصفحة ، نرسم دائرة بها نقطة (فكر في هذا على أنه طرف السهم الذي يشير إلى خارج الصفحة).
•••غ
خصائص المنتج التبادلي
فيما يلي العديد من خصائص المنتج العرضي المتجه:
\#\النص 1. If} \ bold {a} \ text {and} \ bold {b} \ text {متوازي ، ثم} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ نص {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ نص {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ نص {4. } (ج \ غامق {أ) \ مرات ب} = ج (\ غامق {أ \ مرات ب})
\ # \ نص {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ start {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ بيج |
التفسير الهندسي للمنتج المتقاطع
عندما يتم صياغة حاصل الضرب الاتجاهي المتجه بدلالة الخطيئة (θ) ، يمكن تفسير حجمه على أنه يمثل مساحة متوازي الأضلاع الممتدة بواسطة المتجهين. هذا بسببأ × ب, |ب| الخطيئة (θ) = ارتفاع متوازي الأضلاع ، كما هو موضح ، و |أ| هي القاعدة.
•••دانا تشين | علم
حجم المنتج الثلاثي المتجهأ (ب × ج) يمكن تفسيره بدوره على أنه حجم خط الموازي الممتد بواسطة المتجهاتأ, بوج. هذا بسبب(ب × ج) يعطي متجه حجمه هو المساحة الممتدة بواسطة المتجهبوناقلاتج، واتجاهها عمودي على تلك المنطقة. أخذ حاصل الضرب النقطي للمتجهأبهذه النتيجة ، تضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.
أمثلة
مثال 1:القوة المؤثرة على جسيم الشحنةفتتحرك بسرعةالخامسفي المجال المغناطيسيباعطي من قبل:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
افترض أن إلكترونًا يمر عبر مجال مغناطيسي 0.005 T بسرعة 2 × 107 آنسة. إذا مرت بشكل عمودي عبر الحقل ، فإن القوة التي ستشعر بها هي:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ times 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
ومع ذلك ، إذا كان الإلكترون يسافر بالتوازي مع المجال ، فإن θ = 0 ، وجيب (0) = 0 ، مما يجعل القوة 0.
لاحظ أنه بالنسبة للإلكترون الذي يمر بشكل عمودي عبر المجال ، فإن هذه القوة ستجعله يتحرك في مسار دائري. يمكن إيجاد نصف قطر هذا المسار الدائري عن طريق ضبط القوة المغناطيسية مساوية لقوة الجاذبية وحل نصف القطرص:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implies r = \ frac {mv} {qB}
في المثال أعلاه ، ينتج عن إدخال الأرقام نصف قطر يبلغ حوالي 0.0227 م.
المثال 2:يتم حساب عزم الدوران للكمية المادية أيضًا باستخدام منتج عرضي متجه. إذا كانت القوةFيتم تطبيقه على كائن في الموضعصمن النقطة المحورية ، عزم الدورانτيتم الحصول على معلومات حول النقطة المحورية من خلال:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
ضع في اعتبارك الحالة التي يتم فيها تطبيق قوة 7 نيوتن بزاوية على نهاية قضيب 0.75 يتصل طرفه الآخر بمحور. الزاوية بينصوF70 درجة ، لذلك يمكن حساب العزم:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { ن}
اتجاه عزم الدوران ،ن، من خلال قاعدة اليد اليمنى. إذا تم تطبيقه على الصورة أعلاه ، فهذا يعطي اتجاهًا يخرج من الصفحة أو الشاشة. بشكل عام ، فإن عزم الدوران المطبق على كائن ما سوف يؤدي إلى تدوير الكائن. سيكون متجه عزم الدوران دائمًا في نفس اتجاه محور الدوران.
في الواقع ، يمكن استخدام قاعدة يمين مبسطة في هذه الحالة: استخدم يدك اليمنى "للاستيلاء" على محور الدوران في مثل هذه الطريقة التي تلتف بها أصابعك في الاتجاه الذي يريد عزم الدوران المرتبط به أن يتسبب في تدوير الكائن. ثم يشير إبهامك في اتجاه متجه عزم الدوران.
اشتقاق صيغة المنتجات المتقاطعة
\ text {هنا سنوضح كيف أن صيغة المنتج المتقاطع} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ غامق {ب} | \ sin (θ) \ غامق {n} \ نص {يمكن اشتقاقه.}
ضع في اعتبارك متجهينأوببزاويةθبينهم. يمكن تشكيل المثلث القائم برسم خط من طرف المتجهأإلى نقطة اتصال عمودية على المتجهب.
باستخدام نظرية فيثاغورس ، نحصل على العلاقة التالية:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {هو إسقاط المتجه} \ bold {a} \ text {on vector} \ bold {b}.
عند تبسيط التعبير قليلاً ، نحصل على ما يلي:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
بعد ذلك ، اضرب طرفي المعادلة في |ب|2 وحرك المصطلح الأول إلى الجانب الأيمن للحصول على:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
بالعمل بالجانب الأيمن ، اضرب كل شيء ثم بسّط:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_y +) (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
بوضع النتيجة مساوية للجانب الأيسر من المعادلة السابقة ، نحصل على العلاقة التالية:
| \ غامق {أ \ مرات ب} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
يوضح لنا هذا أن المقادير هي نفسها في الصيغة ، لذا فإن آخر شيء يجب القيام به لإثبات الصيغة هو إظهار أن الاتجاهات هي نفسها أيضًا. يمكن القيام بذلك ببساطة عن طريق أخذ المنتجات النقطية لـأمعأ × بوبمعأ × بوتظهر أنها 0 ، مما يعني أن اتجاهأ × ب عمودي على كليهما.