الطاقة الحركية الدورانيةيصف طاقة الحركة الناتجة عن دوران الجسم أو الحركة الدائرية. أذكر ذلكالطاقة الحركية الخطيةمن الكتلةمتتحرك بسرعةالخامستعطى بواسطة 1 / 2mv2. هذه عملية حسابية مباشرة لأي جسم يتحرك في مسار خط مستقيم. إنه ينطبق على مركز كتلة الكائن ، مما يسمح بتقريب الجسم ككتلة نقطية.
الآن ، إذا أردنا وصف الطاقة الحركية لجسم ممتد يمر بحركة أكثر تعقيدًا ، يصبح الحساب أكثر تعقيدًا.
يمكننا إجراء تقديرات تقريبية متتالية عن طريق تقسيم الكائن الممتد إلى قطع صغيرة ، يمكن تقريب كل منها على أنها نقطة الكتلة ، ثم احسب الطاقة الحركية الخطية لكل نقطة كتلة على حدة ، واجمعها جميعًا لإيجاد إجمالي موضوع. كلما قسمنا الجسم إلى أجزاء أصغر ، كان التقريب أفضل. في النهاية حيث تصبح القطع متناهية الصغر ، يمكن القيام بذلك باستخدام التفاضل والتكامل.
لكننا محظوظون! عندما يتعلق الأمر بالحركة الدورانية ، هناك تبسيط. بالنسبة لجسم دوار ، إذا وصفنا توزيعه الكتلي حول محور الدوران من حيث لحظة القصور الذاتي ،أنا، يمكننا بعد ذلك استخدام معادلة طاقة حركية دورانية بسيطة ، نناقشها لاحقًا في هذه المقالة.
لحظة من الجمود
لحظة من الجمود
هو مقياس لمدى صعوبة جعل كائن ما يغير حركته الدورانية حول محور معين. لا تعتمد لحظة القصور الذاتي لجسم دوار على كتلة الجسم فحسب ، بل تعتمد أيضًا على كيفية توزيع هذه الكتلة حول محور الدوران. كلما ابتعدت الكتلة عن المحور ، زادت صعوبة تغيير حركتها الدورانية ، وبالتالي زادت لحظة القصور الذاتي.وحدات SI للحظة القصور الذاتي هي kgm2 (وهو ما يتفق مع مفهومنا أنه يعتمد على الكتلة وعلى المسافة من محور الدوران). يمكن العثور على لحظات القصور الذاتي لأجسام مختلفة في جدول أو من حساب التفاضل والتكامل.
نصائح
يمكن إيجاد لحظة القصور الذاتي لأي جسم باستخدام حساب التفاضل والتكامل وصيغة لحظة القصور الذاتي للكتلة النقطية.
معادلة الطاقة الحركية الدورانية
تُعطى صيغة الطاقة الحركية الدورانية من خلال:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
أينأناهي لحظة القصور الذاتي للكائن وωهي السرعة الزاوية للجسم بالتقدير الدائري في الثانية (راديان / ثانية). وحدة SI للطاقة الحركية الدورانية هي الجول (J).
شكل معادلة الطاقة الحركية الدورانية مماثل لمعادلة الطاقة الحركية الانتقالية ؛ تلعب لحظة القصور الذاتي دور الكتلة ، والسرعة الزاوية تحل محل السرعة الخطية. لاحظ أن معادلة الطاقة الحركية الدورانية تعطي نفس النتيجة لكتلة النقطة كما تفعل المعادلة الخطية.
إذا تخيلنا كتلة نقطيةمتتحرك في دائرة نصف قطرهاصبسرعةالخامس، فإن سرعتها الزاوية هي ω = v / r ولحظة القصور الذاتي لها هي السيد2. تعطي كلا المعادلتين الحركية نفس النتيجة ، كما هو متوقع:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ إلغاء {r ^ 2} v ^ 2} {\ إلغاء {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
إذا كان جسم ما يدور في نفس الوقت وكان مركز كتلته يتحرك على طول مسار خط مستقيم (كما يحدث مع الإطار المتداول ، على سبيل المثال) ، فعندئذٍمجموع الطاقة الحركيةهو مجموع الطاقة الحركية الدورانية والطاقات الحركية الانتقالية:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
أمثلة باستخدام صيغة الطاقة الحركية الدورانية
صيغة الطاقة الحركية الدورانية لها تطبيقات عديدة. يمكن استخدامه لحساب الطاقة الحركية البسيطة لجسم دوار ، لحساب الطاقة الحركية لـ كائن متدحرج (كائن يخضع لحركة دورانية وحركة انتقالية) ويتم حله من أجل الآخر غير معروف. تأمل الأمثلة الثلاثة التالية:
مثال 1:تدور الأرض حول محورها مرة كل 24 ساعة تقريبًا. إذا افترضنا أن لها كثافة منتظمة ، فما هي طاقتها الحركية الدورانية؟ (نصف قطر الأرض 6.37 × 106 م وكتلته 5.97 × 1024 كلغ.)
لإيجاد الطاقة الحركية الدورانية ، علينا أولاً إيجاد لحظة القصور الذاتي. من خلال تقريب الأرض على أنها كرة صلبة ، نحصل على:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
السرعة الزاوية 2π راديان / يوم. يعطي تحويل هذا إلى rad / s:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ إلغاء {\ text {day}}} \ frac {1 \ Cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
إذن الطاقة الحركية الدورانية للأرض هي:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2.56 \ times 10 ^ {29} \ text {J}
حقيقة ممتعة: هذه أكثر من 10 أضعاف إجمالي الطاقة التي تطفئها الشمس في دقيقة واحدة!
المثال 2:تدور أسطوانة منتظمة كتلتها 0.75 كجم ونصف قطرها 0.1 متر على الأرض بسرعة ثابتة 4 م / ث. ما هي طاقتها الحركية؟
يتم إعطاء الطاقة الحركية الكلية من خلال:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
في هذه الحالة ، أنا = 1/2 السيد2 هي لحظة القصور الذاتي لأسطوانة صلبة ، وωيرتبط بالسرعة الخطية عبر ω = v / r.
يؤدي تبسيط التعبير عن إجمالي الطاقة الحركية وتوصيل القيم إلى:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0.75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2.25 \ text {J}
لاحظ أننا لسنا بحاجة حتى إلى استخدام نصف القطر! تم إلغاؤه بسبب العلاقة المباشرة بين سرعة الدوران والسرعة الخطية.
المثال 3:طالب يركب دراجة ينحدر أسفل تل من الراحة. إذا كان الارتفاع الرأسي للتل 30 مترًا ، فما السرعة التي يسير بها الطالب في أسفل التل؟ لنفترض أن الدراجة تزن 8 كجم ، والراكب يزن 50 كجم ، وتزن كل عجلة 2.2 كجم (مدرجة في وزن الدراجة) ويبلغ قطر كل عجلة 0.7 متر. تقريب العجلات كأطواق وافترض أن الاحتكاك ضئيل.
هنا يمكننا استخدام الحفاظ على الطاقة الميكانيكية لإيجاد السرعة النهائية. يتم تحويل الطاقة الكامنة في الجزء العلوي من التل إلى طاقة حركية في الجزء السفلي. هذه الطاقة الحركية هي مجموع الطاقة الحركية الانتقالية للشخص بأكمله + نظام الدراجة ، والطاقات الحركية الدورانية للإطارات.
إجمالي طاقة النظام:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17،052 \ نص {J}
صيغة الطاقة الإجمالية من حيث الطاقات الحركية في أسفل التل هي:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {tyres} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ مرات م_ {صور} \ مرة r_ {tyre} ^ 2) (v / r_ {tyre}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tyre} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {صور} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
حل لالخامسيعطي:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tyre} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
أخيرًا ، بالتعويض بالأرقام ، نحصل على إجابتنا:
v = \ sqrt {\ frac {17،052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}