حاصل ضرب كميتين عدديتين هو عدد قياسي ، وحاصل ضرب عددي مع متجه هو متجه ، ولكن ماذا عن حاصل ضرب متجهين؟ هل هو عددي أم ناقل آخر؟ الجواب ، يمكن أن يكون إما!
هناك طريقتان لضرب المتجهات معًا. أحدهما عن طريق أخذ حاصل الضرب النقطي ، والذي ينتج عنه مقياسًا ، والآخر بأخذ حاصل الضرب التبادلي ، والذي ينتج متجهًا آخر. يعتمد المنتج الذي يجب استخدامه على السيناريو المحدد والكمية التي تحاول العثور عليها.
الالمنتج نقطةيشار إليه أحيانًا باسممنتج عدديأومنتج داخلي. هندسيًا ، يمكنك التفكير في حاصل الضرب النقطي بين متجهين كطريقة لضرب قيم المتجه التي تحسب فقط المساهمات في نفس الاتجاه.
- ملاحظة: قد تكون المنتجات النقطية سالبة أو موجبة ، لكن هذه العلامة لا تشير إلى الاتجاه. على الرغم من أنه في أحد الأبعاد ، غالبًا ما يُشار إلى اتجاه المتجه بعلامة ، إلا أن الكميات العددية يمكن أن يكون لها أيضًا إشارات مرتبطة بها ليست مؤشرات اتجاه. الدين هو مجرد واحد من أمثلة كثيرة على ذلك
تعريف المنتج النقطي
حاصل الضرب النقطي للناقلاتأ = (أx، أذ)وب = (بx، بذ)في نظام الإحداثيات الديكارتية القياسي يتم تعريفه على النحو التالي:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
عندما تأخذ حاصل الضرب النقطي للمتجه مع نفسه ، تظهر علاقة مثيرة للاهتمام:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
أين |أ| هو مقدار (طول) منأبواسطة نظرية فيثاغورس.
يمكن اشتقاق صيغة أخرى لحاصل الضرب باستخدام قانون جيب التمام. هكذا يتم فعل هذا:
ضع في اعتبارك ناقلات غير صفريةأوبمع متجه الاختلافأ - ب. رتب المتجهات الثلاثة لتشكيل مثلث.
يخبرنا قانون جيب التمام من علم المثلثات أن:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
وباستخدام تعريف المنتج النقطي نحصل على:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot ب}
بمساواة التعبيرين ثم التبسيط ، نحصل على:
\ إلغاء {| \ bold {a} | ^ 2} + \ إلغاء {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ إلغاء {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ إلغاء {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implies \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ غامق {b} | \ cos (\ ثيتا)}
تسمح هذه الصيغة لحدسنا الهندسي أن يلعب دوره. الكمية |أ| كوس (θ) هو مقدار إسقاط المتجهأعلى المتجهب.
إذن يمكننا التفكير في حاصل الضرب القياسي على أنه إسقاط أحد المتجهين على الآخر ، ثم حاصل ضرب قيمهما. بعبارة أخرى ، يمكن اعتباره منتجًا لمتجه واحد مع مقدار المتجه الآخر في نفس اتجاهه.
خصائص المنتج النقطي
فيما يلي العديد من خصائص المنتج النقطي التي قد تجدها مفيدة:
\#\النص 1. If} \ theta = 0 \ text {، then} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
هذا لأن cos (0) = 1.
\ # \ نص {2. If} \ theta = 180 \ text {، then} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
هذا لأن cos (180) = -1.
\ # \ نص {3. If} \ theta = 90 \ text {، then} \ bold {a \ cdot b} = 0
هذا لأن cos (90) = 0.
- ملاحظة: بالنسبة لـ 0 <
θ
<90 ، سيكون حاصل الضرب النقطي موجبًا ، وللحصول على 90 <
θ
<180 ، سيكون حاصل الضرب القياسي سالبًا.
\ # \ نص {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
هذا يتبع من تطبيق القانون التبادلي على تعريف المنتج النقطي.
\ # \ نص {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
دليل:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x، b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ غامق {a \ cdot c}
\ # \ نص {6. } ج (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
دليل:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ غامق {ب}
كيف تجد المنتج النقطي
مثال 1:في الفيزياء ، الشغل الذي تقوم به القوةFعلى كائن أثناء تعرضه للإزاحةد، يعرف ب:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
حيث θ هي الزاوية بين متجه القوة ومتجه الإزاحة.
إن مقدار الشغل الذي تقوم به القوة هو مؤشر على مقدار مساهمة هذه القوة في الإزاحة. إذا كانت القوة في نفس اتجاه الإزاحة (cos (θ) = 0) ، فإنها تقدم أقصى مساهمتها. إذا كان عموديًا على الإزاحة (cos (Ѳ) = 90) ، فهي لا تقدم أي مساهمة على الإطلاق. وإذا كانت عكس الإزاحة (cos (θ) = 180) ، فإنها تقدم مساهمة سالبة.
لنفترض أن طفلًا دفع قطار لعبة عبر مسار عن طريق تطبيق قوة مقدارها 5 نيوتن بزاوية 25 درجة بالنسبة لخط المسار. ما مقدار الشغل الذي يقوم به الطفل في القطار عندما يحركه 0.5 متر؟
حل:
F = 5 \ نص {N} \\ د = 0.5 \ نص {م} \\ \ ثيتا = 25 \ درجة \\
باستخدام تعريف المنتج النقطي للعمل ، وإدخال القيم نحصل بعد ذلك على:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
من هذا المثال الملموس ، يجب أن يكون أوضح أن تطبيق قوة عمودية على اتجاه الإزاحة لا يجدي نفعاً. إذا دفع الطفل القطار بزاوية قائمة على المسار ، فلن يتحرك القطار إما للأمام أو للخلف على طول المسار. من البديهي أيضًا أن العمل الذي يقوم به الطفل في القطار سيزداد مع انخفاض الزاوية وتكون القوة والإزاحة أقرب إلى المحاذاة.
المثال 2:الطاقة هي مثال آخر على الكمية المادية التي يمكن حسابها باستخدام حاصل الضرب النقطي. في الفيزياء ، القوة تساوي الشغل مقسومًا على الوقت ، ولكن يمكن أيضًا كتابتها على أنها حاصل الضرب القياسي للقوة والسرعة كما هو موضح:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { و \ cdot v}
أينالخامسهي السرعة.
تأمل المثال السابق للطفل الذي كان يلعب في القطار. إذا تم إخبارنا بدلاً من ذلك أنه تم تطبيق نفس القوة مما تسبب في تحرك القطار بسرعة 2 م / ث أسفل المسار ، فيمكننا استخدام حاصل الضرب النقطي لإيجاد القوة:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
المثال 3:مثال آخر على استخدام المنتجات النقطية في الفيزياء هو حالة التدفق المغناطيسي. التدفق المغناطيسي هو مقدار المجال المغناطيسي الذي يمر عبر منطقة معينة. تم العثور عليه كمنتج نقطي للمجال المغناطيسيبمع المنطقةأ. (اتجاه متجه المنطقة هوعادي، أو عموديًا ، على سطح المنطقة.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
لنفترض أن مجالًا قيمته 0.02 تسلا يمر عبر حلقة سلكية نصف قطرها 10 سم ، مما يجعل زاوية قياسها 30 درجة مع العمودي. ما هو التدفق؟
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0.02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
عندما يتغير هذا التدفق ، إما عن طريق تغيير قيمة الحقل أو تغيير منطقة الحلقة أو تغيير زاوية عن طريق تدوير الحلقة أو مصدر المجال ، سيتم حث التيار في الحلقة ، وتوليد كهرباء!
لاحظ مرة أخرى كيف أن الزاوية ملائمة بطريقة بديهية. إذا كانت الزاوية 90 درجة ، فإن هذا يعني أن الحقل سيقع على نفس مستوى المنطقة ولن تمر أي خطوط حقل عبر الحلقة ، مما يؤدي إلى عدم حدوث تدفق. ثم يزداد مقدار التدفق كلما اقتربت الزاوية بين المجال والعادي من الصفر. يتيح لنا المنتج النقطي تحديد مقدار المجال في الاتجاه الطبيعي للسطح ، وبالتالي يساهم في التدفق.
الإسقاط المتجه والمنتج النقطي
في الأقسام السابقة ، ذُكر أن المنتج النقطي يمكن اعتباره طريقة لإسقاط متجه على آخر ثم ضرب مقاديره. على هذا النحو ، لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن صيغة الإسقاط المتجه يمكن اشتقاقها من المنتج النقطي.
من أجل مشروع المتجهأعلى المتجهب، نأخذ حاصل الضرب القياسي لـأمعحتى النصرفي اتجاهب، ثم اضرب هذه النتيجة العددية في نفس متجه الوحدة.
متجه الوحدة هو متجه طوله 1 يقع في اتجاه معين. متجه الوحدة في اتجاه المتجهبهو مجرد متجهبمقسومًا على حجمها:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
إذن هذا الإسقاط هو:
\ text {Projection of} \ bold {a} \ text {on} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ كبير) \ غامق {ب}
المنتج النقطي في البعد الأعلى
مثلما توجد المتجهات في أبعاد أعلى ، كذلك يوجد حاصل الضرب النقطي. تخيل مثال الطفل الذي يدفع القطار مرة أخرى. افترض أنها تدفع لأسفل وبزاوية على جانب المسار. في نظام الإحداثيات القياسي ، يجب تمثيل متجهات القوة والإزاحة على أنها ثلاثية الأبعاد.
فينالأبعاد ، يتم تعريف المنتج النقطي على النحو التالي:
\ bold {a \ cdot b} = \ overet {n} {\ underet {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
لا تزال جميع خصائص حاصل الضرب النقطي نفسها سارية ، ويعطي قانون جيب التمام العلاقة مرة أخرى:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
حيث يتم العثور على حجم كل متجه من خلال ما يلي ، مرة أخرى بما يتفق مع نظرية فيثاغورس:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
كيف تجد المنتج النقطي في ثلاثة أبعاد
مثال 1:يكون حاصل الضرب النقطي مفيدًا بشكل خاص عند الحاجة إلى إيجاد الزاوية بين متجهين. على سبيل المثال ، افترض أننا نريد تحديد الزاوية بينأ= (2، 3، 2) وب= (1, 4, 0). حتى إذا قمت برسم هذين المتجهين في 3 مسافات ، فقد يكون من الصعب للغاية لف رأسك حول الهندسة. لكن الرياضيات واضحة إلى حد ما ، باستخدام حقيقة أن:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implies \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ غامق {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ كبير)
ثم حساب حاصل الضرب النقطي لـأوب:
\ غامق {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
وحساب مقادير كل متجه:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
وأخيرًا بتوصيل كل شيء ، نحصل على:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
المثال 2:توجد شحنة موجبة عند نقطة الإحداثيات (3 ، 5 ، 4) في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في أي نقطة على طول الخط مشيرًا في اتجاه المتجهأ= (6 ، 9 ، 5) هل المجال الكهربائي هو الأكبر؟
الحل: من معرفتنا بكيفية ارتباط شدة المجال الكهربائي بالمسافة ، نعلم هذه النقطة على الخط الأقرب إلى الشحنة الموجبة هو المكان الذي سيكون الحقل فيه أقوى. من خلال معرفتنا بالمنتجات النقطية ، قد نخمن أن استخدام صيغة الإسقاط أمر منطقي هنا. يجب أن تعطينا هذه الصيغة متجهًا يكون طرفه بالضبط عند النقطة التي نبحث عنها.
نحن بحاجة لحساب:
\ text {Projection of} (3، 5، 4) \ text {on} \ bold {a} = \ Big ((3،5،4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
للقيام بذلك ، أولاً ، دعنا نجد |أ|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
ثم المنتج النقطي:
(3،5،4) \ cdot (6،9،5) = 3 \ مرات 6 + 5 \ مرات 9 + 4 \ مرات 5 = 83
قسمة هذا على |أ|2 يعطي 83/142 = 0.585. ثم يتم ضرب هذا العدد فيأيعطي:
0.585 \ bold {a} = 0.585 \ times (6،9،5) = (3.51،5.27،2.93)
ومن ثم فإن النقطة على طول الخط حيث يكون الحقل هو الأقوى (3.51 ، 5.27 ، 2.93).