سواء كانت متزلجة على الجليد تشد ذراعيها وتدور بشكل أسرع كما تفعل أو قطة تتحكم في سرعة دورانها أثناء السقوط لضمان هبوطها على قدميها ، فإن مفهوم لحظة القصور الذاتي أمر بالغ الأهمية لفيزياء الدوران اقتراح.
تُعرف لحظة القصور الذاتي ، والمعروفة أيضًا باسم الجمود الدوراني ، بأنها التناظرية الدورانية للكتلة في ثانيًا من قوانين نيوتن للحركة ، التي تصف ميل الجسم لمقاومة التسارع الزاوي.
قد لا يبدو هذا المفهوم مثيرًا للاهتمام في البداية ، ولكن بالاشتراك مع قانون الحفاظ على الزاوية الزخم ، يمكن استخدامه لوصف العديد من الظواهر الفيزيائية الرائعة والتنبؤ بالحركة في نطاق واسع من مواقف.
تعريف لحظة القصور الذاتي
تصف لحظة القصور الذاتي لشيء ما مقاومته للتسارع الزاوي ، وهو ما يمثل توزيع الكتلة حول محور دورانه.
إنه يحدد بشكل أساسي مدى صعوبة تغيير سرعة دوران كائن ما ، سواء كان ذلك يعني بدء دورانه أو إيقافه أو تغيير سرعة جسم يدور بالفعل.
يطلق عليه أحيانًا الجمود الدوراني ، ومن المفيد التفكير فيه على أنه نظير للكتلة في قانون نيوتن الثاني:Fصافي = أماه. هنا ، غالبًا ما تسمى كتلة الجسم بالكتلة بالقصور الذاتي ، وهي تصف مقاومة الجسم للحركة (الخطية). يعمل القصور الذاتي الدوراني تمامًا مثل هذا بالنسبة للحركة الدورانية ، ويتضمن التعريف الرياضي دائمًا الكتلة.
يتعلق التعبير المكافئ للقانون الثاني للحركة الدورانيةعزم الدوران (τ، التناظرية الدورانية للقوة) للتسارع الزاويαولحظة من الجمودأنا:
\ tau = أنا \ ألفا
يمكن أن يكون للكائن نفسه لحظات متعددة من القصور الذاتي ، لأنه في حين أن جزءًا كبيرًا من التعريف يتعلق بتوزيع الكتلة ، فإنه يفسر أيضًا موقع محور الدوران.
على سبيل المثال ، في حين أن لحظة القصور الذاتي لقضيب يدور حول مركزه هيأنا = ML2/ 12 (أينمهو الكتلة وإلهو طول القضيب) ، نفس القضيب الذي يدور حول أحد الطرفين لديه لحظة من القصور الذاتيأنا = ML2/3.
معادلات لحظة القصور الذاتي
لذا فإن لحظة القصور الذاتي للجسم تعتمد على كتلتهمنصف قطرهاصومحور دورانها.
في بعض الحالات،صيشار إليه باسمد، للمسافة من محور الدوران ، وفي حالات أخرى (كما هو الحال مع القضيب في القسم السابق) يتم استبداله بالطول ،إل. الرمزأنايستخدم لعزم القصور الذاتي ، وله وحدات كجم م2.
كما قد تتوقع بناءً على ما تعلمته حتى الآن ، هناك العديد من المعادلات المختلفة للحظة القصور الذاتي ، ويشير كل منها إلى شكل معين ومحور دوران معين. في كل لحظات الجمود ، المصطلحالسيد2 يظهر ، على الرغم من وجود كسور مختلفة أمام هذا المصطلح بالنسبة للأشكال المختلفة ، وفي بعض الحالات قد يكون هناك عدة مصطلحات مجمعة معًا.
الالسيد2 المكون هو لحظة القصور الذاتي لكتلة نقطة على مسافةصمن محور الدوران ، والمعادلة الخاصة بجسم صلب معين يتم بناؤها كمجموع كتل نقطية ، أو من خلال دمج عدد لا حصر له من كتل النقاط الصغيرة فوق الجسم.
بينما قد يكون من المفيد في بعض الحالات اشتقاق لحظة القصور الذاتي لجسم ما بناءً على مجموع حسابي بسيط للكتل النقطية أو بواسطة الدمج ، من الناحية العملية ، هناك العديد من النتائج لأشكال ومحاور الدوران الشائعة التي يمكنك استخدامها ببساطة دون الحاجة إلى اشتقاقها أول:
اسطوانة صلبة (محور التناظر):
أنا = \ frac {1} {2} MR ^ 2
الأسطوانة الصلبة (محور القطر المركزي أو قطر المقطع العرضي الدائري في منتصف الأسطوانة):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
الكرة الصلبة (المحور المركزي):
أنا = \ frac {2} {5} MR ^ 2
غلاف كروي رفيع (المحور المركزي):
أنا = \ frac {2} {3} MR ^ 2
الحلقة (محور التناظر ، أي عموديًا عبر المركز):
أنا = MR ^ 2
الحلقة (محور القطر ، أي عبر قطر الدائرة التي شكلها الطوق):
أنا = \ frac {1} {2} MR ^ 2
القضيب (المحور المركزي ، عمودي على طول القضيب):
أنا = \ frac {1} {12} ML ^ 2
قضيب (يدور حول النهاية):
أنا = \ frac {1} {3} ML ^ 2
الجمود الدوراني ومحور الدوران
يعد فهم سبب وجود معادلات مختلفة لكل محور دوران خطوة أساسية لفهم مفهوم لحظة القصور الذاتي.
فكر في قلم رصاص: يمكنك تدويره بتدويره في المنتصف أو في نهايته أو بلفه حول محوره المركزي. نظرًا لأن الجمود الدوراني لجسم ما يعتمد على توزيع الكتلة حول محور الدوران ، فإن كل حالة من هذه المواقف مختلفة وتتطلب معادلة منفصلة لوصفها.
يمكنك الحصول على فهم غريزي لمفهوم لحظة القصور الذاتي إذا قمت بتوسيع هذه الحجة إلى عمود علم يبلغ ارتفاعه 30 قدمًا.
سيكون تدويره حتى النهاية صعبًا للغاية - إذا كان بإمكانك إدارته على الإطلاق - في حين أن تدوير العمود حول محوره المركزي سيكون أسهل بكثير. هذا لأن عزم الدوران يعتمد بشدة على المسافة من محور الدوران ، وفي 30 قدمًا مثال عمود العلم ، تدويره من النهاية إلى النهاية يتضمن كل طرف متطرف يبعد 15 قدمًا عن محور دوران.
ومع ذلك ، إذا قمت بتدويره حول المحور المركزي ، فسيكون كل شيء قريبًا جدًا من المحور. يشبه الموقف إلى حد كبير حمل شيء ثقيل على مسافة ذراع مقابل ذراع. عقده بالقرب من جسمك ، أو تشغيل رافعة من النهاية مقابل. بالقرب من نقطة ارتكاز.
هذا هو السبب في أنك بحاجة إلى معادلة مختلفة لوصف لحظة القصور الذاتي لنفس الكائن اعتمادًا على محور الدوران. يؤثر المحور الذي تختاره على مدى بُعد أجزاء الجسم عن محور الدوران ، على الرغم من أن كتلة الجسم تظل كما هي.
استخدام معادلات لحظة القصور الذاتي
مفتاح حساب لحظة القصور الذاتي لجسم صلب هو تعلم استخدام وتطبيق المعادلات المناسبة.
ضع في اعتبارك قلم الرصاص من القسم السابق ، حيث يتم لفه حول نقطة مركزية على طوله. في حين أنها ليست ملففي احسن الاحوالقضيب (الطرف المدبب يكسر هذا الشكل ، على سبيل المثال) يمكن تصميمه على هذا النحو ليوفر عليك المرور بلحظة كاملة من اشتقاق القصور الذاتي للكائن.
بنمذجة الجسم كقضيب ، يمكنك استخدام المعادلة التالية لإيجاد لحظة القصور الذاتي ، جنبًا إلى جنب مع الكتلة الكلية وطول القلم الرصاص:
أنا = \ frac {1} {12} ML ^ 2
التحدي الأكبر هو إيجاد لحظة القصور الذاتي للأجسام المركبة.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك كرتين متصلتين ببعضهما البعض بواسطة قضيب (سنعاملهما على أنهما عديم الكتلة لتبسيط المشكلة). الكرة الأولى هي 2 كجم ووضعت على بعد 2 متر من محور الدوران ، والكرة الثانية 5 كجم في الكتلة و 3 أمتار من محور الدوران.
في هذه الحالة ، يمكنك إيجاد لحظة القصور الذاتي لهذا الجسم المركب من خلال اعتبار كل كرة كتلة نقطية والعمل من التعريف الأساسي على النحو التالي:
\ start {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {align}
باستخدام الأحرف السفلية ، قم ببساطة بالتمييز بين الكائنات المختلفة (مثل الكرة 1 والكرة 2). عندئذٍ سيكون للجسم ذو الكرتين:
\ start {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \؛ \ text {kg} × (2 \؛ \ text {m}) ^ 2 + 5 \؛ \ text {kg} × (3 \؛ \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \؛ \ text {kg m} ^ 2 + 45 \؛ \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \؛ \ text {kg م} ^ 2 \ نهاية {محاذاة}
لحظة القصور الذاتي والحفاظ على الزخم الزاوي
يُعرَّف الزخم الزاوي (التناظرية الدورانية للزخم الخطي) بأنه نتاج القصور الذاتي الدوراني (أي لحظة القصور الذاتي ،أنا) للكائن وسرعته الزاويةω) ، والتي يتم قياسها بالدرجات / ثانية أو راديان / ثانية.
ستكون بلا شك على دراية بقانون الحفاظ على الزخم الخطي ، كما يتم الحفاظ على الزخم الزاوي بنفس الطريقة. معادلة الزخم الزاويإل) هو:
L = أنا
إن التفكير في ما يعنيه هذا عمليًا يفسر العديد من الظواهر الفيزيائية ، لأنه (في حالة عدم وجود قوى أخرى) ، كلما زاد القصور الذاتي لدوران الجسم ، انخفضت سرعته الزاوية.
ضع في اعتبارك أن متزلج على الجليد يدور بسرعة زاوية ثابتة وذراعه ممدودتان ، ولاحظ أن مد ذراعيه يزيد من نصف القطرصحول التي تتوزع كتلته ، مما يؤدي إلى لحظة من القصور الذاتي أكبر مما لو كانت ذراعيه قريبة من جسده.
إذاإل1 يحسب بذراعيه ممدودتين ، وإل2بعد سحب ذراعيه يجب أن يكون له نفس القيمة (لأنه يتم الحفاظ على الزخم الزاوي) ، ماذا يحدث إذا قلل من لحظة القصور الذاتي عن طريق سحب ذراعيه؟ سرعته الزاويةωيزيد للتعويض.
تؤدي القطط حركات مماثلة لمساعدتها على الهبوط على أقدامها عند السقوط.
من خلال مد أرجلهم وذيلهم ، فإنهم يزيدون من لحظة القصور الذاتي لديهم ويقلل من سرعة دورانهم ، وعلى العكس من ذلك ، يمكنهم سحب أرجلهم لتقليل لحظة القصور الذاتي لديهم وزيادة سرعة دورانهم. يستخدمون هاتين الاستراتيجيتين - جنبًا إلى جنب مع جوانب أخرى من "منعكس التصحيح" - لضمان استقرار أقدامهم أولاً ، يمكنك أن ترى مراحل مميزة من الالتفاف والتمدد في صور الفاصل الزمني للقطة هبوط.
لحظة القصور الذاتي والطاقة الحركية الدورانية
استمرارًا لأوجه التشابه بين الحركة الخطية والحركة الدورانية ، تمتلك الأجسام أيضًا طاقة حركية دورانية بنفس الطريقة التي تمتلك بها طاقة حركية خطية.
فكر في كرة تتدحرج على الأرض ، سواء كانت تدور حول محورها المركزي وتتحرك للأمام بطريقة خطية: إجمالي الطاقة الحركية للكرة هي مجموع طاقتها الحركية الخطيةهك وطاقتها الحركية الدورانيةهتعفن. تنعكس أوجه التشابه بين هاتين الطاقتين في المعادلات لكليهما ، مع تذكر أن الكائن لحظة القصور الذاتي هي التناظرية الدورانية للكتلة وسرعتها الزاوية هي التناظرية الدورانية للكتلة الخطية ● السرعةالخامس):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
يمكنك أن ترى بوضوح أن كلا المعادلتين لهما نفس الشكل تمامًا ، مع استبدال نظائر الدوران المناسبة لمعادلة الطاقة الحركية الدورانية.
بالطبع ، لحساب الطاقة الحركية الدورانية ، ستحتاج إلى استبدال التعبير المناسب عن لحظة القصور الذاتي للكائن في الفضاء لـأنا. بالنظر إلى الكرة ، ونمذجة الكائن على أنه كرة صلبة ، فإن المعادلة هي هذه الحالة:
\ start {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {align}
إجمالي الطاقة الحركية (هتوت) هو مجموع هذا والطاقة الحركية للكرة ، لذا يمكنك كتابة:
\ start {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { محاذاة}
بالنسبة لكرة 1 كجم تتحرك بسرعة خطية 2 م / ث ، نصف قطرها 0.3 م وبسرعة زاوية 2 راديان / ث ، ستكون الطاقة الإجمالية:
\ start {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \؛ \ text {kg} × (2 \؛ \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \ ؛ \ نص {كجم} × (0.3 \؛ \ text {m}) ^ 2 × (2π \؛ \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \؛ \ text {J} + 0.71 \؛ \ text {J} \\ & = 2.71 \ ؛ \ نص {J} \ نهاية {محاذاة}
اعتمادًا على الموقف ، قد يمتلك الجسم طاقة حركية خطية فقط (على سبيل المثال ، كرة تسقط منها ارتفاع مع عدم وجود دوران له) أو طاقة حركية دورانية فقط (كرة تدور لكنها تبقى في مكانها).
تذكر أنه كذلكمجموعالطاقة المحفوظة. إذا ركلت الكرة على الحائط بدون دوران مبدئي ، وارتدت إلى الوراء بسرعة أقل ولكن مع الدوران ، وكذلك الطاقة فقدت بسبب الصوت والحرارة عند الاتصال ، تم تحويل جزء من الطاقة الحركية الأولية إلى طاقة حركية دورانية ، وهكذالا تستطيعربما تتحرك بالسرعة التي كانت عليها قبل الارتداد.