المضلع هو أي شكل مغلق ثنائي الأبعاد له 3 جوانب مستقيمة (غير منحنية) أو أكثر ، ويعرف المضلع ذو 12 جانبًا باسم dodecagon. الأضلاع العادية ذات الأضلاع والزوايا متساوية الأضلاع والزوايا ، ومن الممكن اشتقاق صيغة لحساب مساحتها. الأضلاع غير المنتظمة لها جوانب بأطوال مختلفة وزوايا مختلفة. نجمة سداسية هي مثال. لا توجد طريقة سهلة لحساب مساحة الشكل غير المنتظم المكون من 12 جانبًا ما لم تصادف أنه قد تم رسمه على رسم بياني ويمكنك قراءة إحداثيات كل رأس. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإن أفضل استراتيجية هي تقسيم الشكل إلى أشكال منتظمة يمكنك حساب المنطقة من أجلها.
حساب مساحة مضلع منتظم ذي 12 جانبًا
لحساب مساحة دوديكاجون عادي ، عليك أن تجد مركزه ، وأفضل طريقة للقيام بذلك هي أن ترسم دائرة حوله تلامس فقط كل رأس من رؤوسه. مركز الدائرة هو مركز الثنائي ، والمسافة من مركز الشكل إلى كل من رءوسه هي ببساطة نصف قطر الدائرة (ص). كل جانب من جوانب الشكل الاثني عشر له نفس الطول ، لذا قم بالإشارة إلى هذا من خلالس.
أنت بحاجة إلى قياس آخر ، وهو طول الخط العمودي المرسوم من منتصف كل جانب إلى مركز الشكل ذي 12 جانبًا. يُعرف هذا الخط باسم العطار. دلالة على طولها من قبل
م. يقسم كل قسم يتكون من خطوط نصف القطر إلى مثلثين قائم الزاوية. أنت لا تعرفم، ولكن يمكنك إيجادها باستخدام نظرية فيثاغورس.تقسم خطوط نصف القطر الاثني عشر الدائرة التي رسمتها حول الثنائي إلى 12 قسمًا متساويًا ، لذا في مركز الشكل ، تكون الزاوية التي يصنعها كل خط مع الدائرة المجاورة له 30 درجة. يتكون كل قسم من الأقسام الاثني عشر المكونة من خطوط نصف القطر من زوج من المثلثات القائمة الزاوية مع وتر المثلثصوزاوية واحدة 15 درجة. الضلع المجاور للزاوية هوم، لذلك يمكنك العثور عليها باستخدام r وجيب الزاوية.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \، \ text {وحل من أجل} m \\ m = r × \ sin (15)
يمكنك الآن العثور على مساحة كل من المثلثات متساوية الساقين المدوَّنة في الضلع الثنائي ، لأنك تعرف طول القاعدة - وهوس- والارتفاع ،م. مساحة كل مثلث
\ start {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {align}
يوجد 12 قسمًا من هذا القبيل ، لذا اضرب في 12 لإيجاد المساحة الإجمالية للشكل العادي المكون من 12 جانبًا:
\ نص {مساحة dodecagon العادي} = 6 × (s × r × \ sin (15))
إيجاد مساحة دوديكاجون غير منتظم
لا توجد صيغة لإيجاد مساحة الشكل الثنائي غير المنتظم ، لأن أطوال الأضلاع والزوايا ليست متطابقة. حتى أنه من الصعب تحديد المركز بدقة. أفضل إستراتيجية هي تقسيم الشكل إلى أشكال منتظمة وحساب مساحة كل منها وإضافتها.
إذا تم رسم الشكل على رسم بياني ، وكنت تعرف إحداثيات الرؤوس ، فهناك صيغة يمكنك استخدامها لحساب المساحة. إذا كانت كل نقطة (ن) يتم تعريفه بواسطة (xن, ذن) ، وتلتف حول الشكل بالترتيب ، إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة ، للحصول على سلسلة من 12 نقطة ، المنطقة هي:
\ نص {منطقة} = \ فارك {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}